מעוין: תכונות, נוסחאות שטח, היקף, ואלכסונים

מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות. הוא מקרה מיוחד של מקבילית.

הגדרה

מעוין ABCD מקיים AB = BC = CD = DA. ממילא, צלעות נגדיות מקבילות.

תכונות

1. כל הצלעות שוות.
2. צלעות נגדיות מקבילות (מקבילית).
3. זוויות נגדיות שוות.
4. אלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה.
5. כל אלכסון חוצה שתי זוויות.
6. שני צירי סימטריה: שני האלכסונים.

נוסחאות

עם צלע a:

$$P = 4a$$

עם אלכסונים d₁ ו-d₂:

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

עם צלע a וזווית α בין צלעות סמוכות:

$$S = a^2 \sin \alpha$$

קשר בין צלע לאלכסונים (אלכסונים מאונכים חוצים זה את זה, אז בכל "רבע" יש משולש ישר זווית):

$$a^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2$$

דוגמה 1: שטח מאלכסונים

מעוין עם אלכסונים 6 ו-8. מצאו את השטח ואת הצלע.

פתרון.

$$S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$$ $$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$

דוגמה 2: שטח מצלע וזווית

מעוין עם צלע 5 וזווית של 60°. מצאו את השטח.

פתרון.

$$S = 25 \cdot \sin 60° = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25 \sqrt{3}}{2}$$

איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין

טעויות נפוצות

1. שכחה שאלכסוני המעוין שונים באורך (אלא אם הוא ריבוע). הם רק חוצים זה את זה ומאונכים.
2. שימוש בנוסחת שטח של מלבן במקום בנוסחה המתאימה למעוין.
3. בלבול עם דלתון. בדלתון גם האלכסונים מאונכים, אבל הצלעות לא כולן שוות.

עמודים קשורים

• ריבוע
• מקבילית
• דלתון
• מרובעים