דלתון: תכונות, נוסחת שטח, ואלכסונים

דלתון הוא מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, כאשר זוג אחד שונה מהזוג השני. הצורה דומה לדלת או לעפיפון.

הגדרה

מרובע ABCD נקרא דלתון אם:

• AB = AD (זוג סמוך אחד)
• CB = CD (זוג סמוך שני)

(הצלעות AB ו-CB לא שוות, ולא AD ו-CD, אחרת זה היה מעוין.)

תכונות

1. שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.
2. אלכסון אחד מאונך לשני וחוצה אותו: האלכסון AC (החוצה בין הצלעות הזוגיות) מאונך ל-BD וחוצה אותו.
3. אלכסון AC חוצה שתי זוויות נגדיות (זוויות A ו-C). אלכסון BD אינו חוצה זוויות.
4. זוג זוויות נגדיות שוות: זוויות B ו-D שוות. זוויות A ו-C לא בהכרח.
5. ציר סימטריה אחד: האלכסון AC.

נוסחאות

עם אלכסונים d₁ ו-d₂:

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

(אותה נוסחה כמעוין: שני אלכסונים מאונכים.)

דוגמה 1: שטח מאלכסונים

דלתון עם אלכסונים 10 ו-6. מצאו את השטח.

פתרון.

$$S = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30$$

דוגמה 2: חישוב צלעות

דלתון עם אלכסון אחד 8 (החוצה את האחר ב-3 ו-5) ואלכסון שני 6. מצאו את כל הצלעות.

פתרון. האלכסון השני מתחלק לשני חלקים שווים על-ידי המאונך. כל צלע היא היתר במשולש ישר זווית:

• שתי צלעות עליונות: יתר עם ניצבים 3 ו-3 → צלע = √18 = 3√2
• שתי צלעות תחתונות: יתר עם ניצבים 5 ו-3 → צלע = √34

הוכחה: שמרובע הוא דלתון

טעויות נפוצות

1. הנחה ששני האלכסונים חוצים זה את זה. רק אחד. השני מחולק על-ידי הראשון, אבל הוא לא חוצה את הראשון.
2. שכחה שזוויות A ו-C לא בהכרח שוות. רק B ו-D שוות.
3. בלבול עם מעוין. במעוין כל הצלעות שוות. בדלתון יש שני זוגות שונים.

עמודים קשורים

• מעוין
• מקבילית
• מרובעים