רדיאן לעומת מעלה: שתי דרכים למדוד זווית

מעלה ורדיאן הן שתי יחידות שונות למדידת זוויות. בבגרות בישראל שתיהן מופיעות, אבל בהקשרים שונים: מעלות בגאומטריה אוקלידית, רדיאנים בחדו״א וטריגונומטריה ברמה גבוהה.

הגדרות

מעלה: חלוקה של מעגל ל-360 חלקים שווים. זווית מלאה היא 360°, חצי-מעגל 180°, רביע 90°.

רדיאן: זווית שעולה על קשת אורכה שווה לרדיוס. כלומר, אם הקשת היא s והרדיוס r, הזווית θ ברדיאנים היא:

$$\theta = \frac{s}{r}$$

זווית מלאה ברדיאנים: 2π (היקף מעגל חלקי רדיוס = 2πr/r = 2π).

ההמרה

הקשר: 2π רדיאנים = 360°, או π רדיאנים = 180°.

לכן:

$$\text{rad} = \frac{\pi}{180} \cdot \text{deg}$$ $$\text{deg} = \frac{180}{\pi} \cdot \text{rad}$$

טבלת המרה לזוויות שכיחות

טבלת השוואה

למה רדיאנים בחדו״א

הזהות הבסיסית lim sin(x)/x = 1 כאשר x → 0 נכונה רק ברדיאנים. כתוצאה מכך:

• (sin x)' = cos x רק ברדיאנים.
• ∫ sin x dx = −cos x + C רק ברדיאנים.

במעלות הנוסחאות מסתבכות במקדם נוסף, וזה הופך את כל החדו״א ליותר מסורבל. לכן מקובל לעבוד ברדיאנים.

דוגמה. שגיאה אם מתבלבלים

מצאו נקודות קיצון של f(x) = sin x בקטע [0°, 360°].

טעות שכיחה. התלמיד גוזר: f'(x) = cos x. משווה לאפס. אבל בגלל החלפת היחידות (מעלות בקטע, רדיאנים בנגזרת), התשובה אינה עקבית.

נכון. הקטע ברדיאנים: [0, 2π]. גזירה: cos x = 0. נקודות אפס: x = π/2 ו-x = 3π/2. במעלות: 90° ו-270°. שתי תשובות.

ראו מעלות לעומת רדיאנים בנגזרת.

במחשבון מדעי

מחשבון מדעי יש מצבים DEG ו-RAD. וודאו שאתם במצב הנכון לפי השאלה:

• בגאומטריה אוקלידית פשוטה: DEG.
• בחישוב נגזרות וגבולות: RAD.

חישוב sin(90) במצב DEG נותן 1. במצב RAD נותן sin(90 רדיאנים) ≈ 0.894. ההבדל קריטי.

דוגמה. אורך קשת

מעגל ברדיוס 5. זווית מרכזית של 60°. מהו אורך הקשת?

ברדיאנים: הזווית = π/3. אז s = θ · r = π/3 · 5 = 5π/3 ≈ 5.24.

במעלות (עם נוסחה מלאה): s = 2πr · (θ/360) = 10π · (60/360) = 10π/6 = 5π/3. אותה תשובה.

עמודים קשורים

• ערכי זוויות מיוחדות
• מעלות לעומת רדיאנים בנגזרת
• סינוס לעומת קוסינוס לעומת טנגנס