מקסימום לעומת מינימום: סיווג נקודות קיצון

מקסימום ומינימום הם שני סוגי נקודות קיצון. הם נמצאים באותה שיטה (השוואת נגזרת לאפס), אבל סיווגם דורש מבחן נוסף.

הגדרות

מקסימום מקומי ב-x₀: ערך f(x₀) גדול או שווה לערך f(x) לכל x בסביבה.

מינימום מקומי ב-x₀: ערך f(x₀) קטן או שווה לערך f(x) לכל x בסביבה.

בשני המקרים f'(x₀) = 0 (או הנגזרת לא קיימת בנקודה).

טבלת השוואה

מבחני סיווג

מבחן הנגזרת השנייה

לאחר שמצאתם x₀ כך ש-f'(x₀) = 0:

• אם f''(x₀) > 0: מינימום.
• אם f''(x₀) < 0: מקסימום.
• אם f''(x₀) = 0: המבחן לא מסיק. עברו לשיטת הסימנים.

מבחן הסימנים

בודקים את סימן f'(x) משני הצדדים של x₀:

דוגמה. שני סוגים באותה פונקציה

נתון: f(x) = x³ − 3x + 2.

נגזרת ראשונה: f'(x) = 3x² − 3. אפסים: x = 1 ו-x = −1.

נגזרת שנייה: f''(x) = 6x.

• ב-x = −1: f''(−1) = −6 < 0. מקסימום מקומי.
• ב-x = 1: f''(1) = 6 > 0. מינימום מקומי.

ערכי הפונקציה:

• f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4. מקסימום בנקודה (−1, 4).
• f(1) = 1 − 3 + 2 = 0. מינימום בנקודה (1, 0).

בבעיות מעולם המציאות

מקסימום נפוץ:

• שטח מקסימלי של אזור מוקף בגדר נתון.
• נפח מקסימלי של קופסה.
• רווח מקסימלי של חברה.

מינימום נפוץ:

• עלות מינימלית של ייצור.
• מרחק מינימלי בין שתי עקומות.
• צריכת חומר מינימלית.

בעיה אופיינית. שטח מקסימלי

חוצב כרים מקבילית בעלת היקף 100 מטר. מצאו את ממדי המקבילית בעלת השטח המקסימלי.

שלב 1. הצבת משתנים. צלע אחת x, השנייה y. היקף: 2x + 2y = 100, אז y = 50 − x.

שלב 2. פונקציית מטרה. שטח S = xy = x(50 − x) = 50x − x².

שלב 3. נגזרת: S'(x) = 50 − 2x. אפס ב-x = 25.

שלב 4. סיווג: S''(x) = −2 < 0. מקסימום.

שלב 5. תשובה: x = 25, y = 25. ריבוע. שטח מקסימלי 625 מטר רבוע.

בעיה אופיינית. מרחק מינימלי

מצאו נקודה על הקו y = x + 1 הקרובה ביותר לראשית.

שלב 1. נקודה כללית על הקו: (x, x + 1).

שלב 2. מרחק מהראשית: d(x) = √(x² + (x + 1)²) = √(2x² + 2x + 1).

שלב 3. במקום למזער את d, ממזערים את d² (פשוט יותר). D(x) = 2x² + 2x + 1.

שלב 4. D'(x) = 4x + 2 = 0. אז x = −1/2. D''(x) = 4 > 0. מינימום.

שלב 5. תשובה: x = −1/2, y = 1/2. הנקודה (−1/2, 1/2).

נקודות מיוחדות. אינפלקציה

נקודה שבה הנגזרת השנייה משנה סימן אבל הנגזרת הראשונה לא אפס שם נקראת נקודת פיתול. היא לא קיצון מקומי, אלא מקום שבו הקיעור משתנה.

לדוגמה, f(x) = x³. f'(x) = 3x² אפס ב-x = 0. אבל f''(x) = 6x גם אפס ב-x = 0, ומחליפה סימן. אז x = 0 נקודת פיתול אופקית, לא קיצון.

עמודים קשורים

• איך למצוא נקודות קיצון של פונקציה
• בעיות מקסימום ומינימום
• קיצון מקומי לעומת קיצון גלובלי