אירועים בלתי תלויים לעומת זרים: ההבדל בהסתברות

שני המושגים נראים דומים אבל מבטאים יחסים שונים בין אירועים. בלי הבחנה ביניהם, מקבלים תשובות שגויות במשוואות הסתברות.

הגדרות

אירועים זרים (mutually exclusive): שני אירועים שלא יכולים להתרחש יחד. אם A קורה, B לא קורה. פורמלית:

$$P(A \cap B) = 0$$

אירועים בלתי תלויים (independent): התרחשות אחד לא משפיעה על ההסתברות של השני. פורמלית:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

ההבדל המהותי

זרים. לא יכולים לקרות יחד. בלתי תלויים. יכולים לקרות יחד, אבל אינם מקושרים.

זוהי הבחנה לוגית, לא רק נוסחאית.

טבלת השוואה

דוגמאות

זרים

בהטלת קוביה אחת, האירועים "יצא 1" ו-"יצא 2" זרים. אי אפשר שבאותה הטלה יצאו גם 1 וגם 2.

$$P(\text{1}) + P(\text{2}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$$

זה הסיכוי שיצא 1 או 2.

בלתי תלויים

מטילים קוביה ומטבע. האירועים "יצא 6 בקוביה" ו-"יצא עץ במטבע" הם בלתי תלויים. הם יכולים לקרות יחד.

$$P(\text{6} \cap \text{עץ}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$$

זה הסיכוי ששניהם יקרו באותו ניסוי.

בלי תלות מותנית

אם P(A|B) = P(A), אז A ו-B בלתי תלויים. כלומר, ידיעה ש-B התרחש לא משנה את ההסתברות של A.

לעומת זאת, אם A ו-B זרים, אז P(A|B) = 0 (כי אם B קרה, A בטח לא קרה). זה בדיוק הפוך מבלי תלות.

הטעות הקלאסית

תלמיד מבלבל ומחשב:

$$P(A \cap B) = P(A) + P(B)$$

זו נוסחה לאיחוד של אירועים זרים, לא לחיתוך. או:

$$P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$$

זו לא נוסחה תקפה בכלל. לאיחוד הנכון הוא P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ולחיתוך של בלתי תלויים: P(A) · P(B).

איך מזהים בשאלה

• שני אירועים באותו ניסוי, אחד שולל את השני: זרים.
• שני ניסויים נפרדים (קוביה ומטבע): בלתי תלויים.
• אירוע שני שמשפיע על ראשון (שליפה בלי החזרה): תלויים, לא בלתי תלויים.

עמודים קשורים

• הסתברות בסיסית
• הגרלה עם החזרה לעומת ללא החזרה
• תמורה לעומת צירוף
• נוסחת בייס