נוסחת בייס: הסתברות מותנית הפוכה

נוסחת בייס היא הכלי המרכזי להפיכת כיוון של הסתברות מותנית. היא מאפשרת לעבור מ-P(תוצאה | סיבה) ל-P(סיבה | תוצאה). שימושית כשנתון מה התוצאה המצופה מתוך כל סיבה אפשרית, ורוצים לדעת איזו סיבה גרמה בפועל.

הנוסחה

עבור חלוקה זרה ומלאה B_1, B_2, ..., B_n של מרחב המדגם, ומאורע A כלשהו:

$$P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i) \cdot P(B_i)}{P(A)}$$

המכנה P(A) מחושב לפי נוסחת ההסתברות המלאה:

$$P(A) = \sum_j P(A | B_j) \cdot P(B_j)$$

ולכן הצורה המורחבת של בייס:

$$P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_j P(A | B_j) \cdot P(B_j)}$$

הוכחה

מהגדרת הסתברות מותנית:

$$P(B_i | A) = \frac{P(A \cap B_i)}{P(A)}$$

ומחוק הכפל:

$$P(A \cap B_i) = P(A | B_i) \cdot P(B_i)$$

חיבור שני הביטויים נותן את נוסחת בייס.

דוגמה 1: בדיקה רפואית

מחלה נדירה מופיעה ב-2% מהאוכלוסיה. בדיקה רפואית מזהה חולים ב-90% מהמקרים ונותנת תוצאה חיובית ב-5% מהבריאים. אדם קיבל תוצאה חיובית. מה הסתברות שהוא חולה?

פתרון.

• P(חולה) = 0.02
• P(בריא) = 0.98
• P(חיובי | חולה) = 0.90
• P(חיובי | בריא) = 0.05

הסתברות תוצאה חיובית:

$$P(\text{חיובי}) = 0.02 \cdot 0.90 + 0.98 \cdot 0.05 = 0.018 + 0.049 = 0.067$$

לפי בייס:

$$P(\text{חולה} | \text{חיובי}) = \frac{0.02 \cdot 0.90}{0.067} \approx 0.269$$

רק כ-27%, למרות שהבדיקה "מדויקת" ב-90%. תוצאה מפתיעה אבל סטטיסטית נכונה: כשמחלה נדירה, גם בדיקות טובות יחסית מניבות הרבה תוצאות שגויות.

דוגמה 2: עץ הסתברויות

בשני קופסאות: בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-1 שחור. בקופסה II יש 1 אדום ו-2 שחורים. בוחרים קופסה באקראי ומוציאים כדור. הכדור אדום. מה הסתברות שזו קופסה I?

פתרון.

• P(I) = P(II) = 0.5
• P(אדום | I) = 3/4
• P(אדום | II) = 1/3

הסתברות אדום:

$$P(\text{אדום}) = 0.5 \cdot \frac{3}{4} + 0.5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 4}{24} = \frac{13}{24}$$

לפי בייס:

$$P(I | \text{אדום}) = \frac{0.5 \cdot 3/4}{13/24} = \frac{3/8}{13/24} = \frac{3}{8} \cdot \frac{24}{13} = \frac{9}{13}$$

שלבי פתרון בעיית בייס

1. זהו את המאורעות: B_i (הסיבות / קבוצות שתחת חלוקה) ו-A (המאורע שתוצאתו ידועה).
2. רשמו את ההסתברויות הראשוניות: P(B_i) ו-P(A | B_i) לכל i.
3. חשבו את P(A) באמצעות נוסחת ההסתברות המלאה.
4. הציבו בנוסחת בייס למאורע המבוקש.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין P(A|B) ל-P(B|A). הן שונות לחלוטין. בייס הופך את כיוון התניה.
2. שכחת P(B_i) בנוסחה. נוסחת בייס דורשת גם את ההסתברות הקודמת של הסיבה (פריור), לא רק את ההסתברות המותנית.
3. קביעת המכנה הלא נכון. המכנה הוא P(A), לא P(B_i).

עמודים קשורים

• הסתברות מותנית
• יסודות הסתברות
• הסתברות