מה ההבדל בין מאורעות זרים למאורעות בלתי-תלויים?

מאורעות זרים: אינם יכולים להתקיים יחד (חיתוך ריק). מאורעות בלתי-תלויים: ההתרחשות של אחד אינה משפיעה על ההסתברות של השני. אלה שתי תכונות שונות לחלוטין. למעשה, אם שני מאורעות זרים והם בהסתברות חיובית, אז הם תלויים.

יסודות ההסתברות לבגרות: מאורעות, חיבור וכפל, וספירה

יסודות ההסתברות בבגרות במתמטיקה. מרחב מדגם, מאורעות, חוקי חיבור וכפל, מאורעות זרים, מאורעות בלתי-תלויים, ושיטות ספירה.

עודכן ב-26 במאי 2026

יסודות ההסתברות הם הכלים הבסיסיים שמופיעים בכל הרמות (3, 4, ו-5 יחידות). הם המסגרת הלוגית של החישוב: מהו מרחב המדגם, מה מבקשים לחשב, ואיזה חוקים חלים.

מושגי יסוד

מרחב מדגם

מרחב המדגם Ω הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות של ניסוי. לדוגמה, בהטלת קוביה: Ω = 6.

מאורע

מאורע A הוא תת-קבוצה של מרחב המדגם. לדוגמה, "התוצאה זוגית": A = 6.

הסתברות

כששתי כל התוצאות שוות-הסתברות, הסתברות מאורע:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

זה היחס בין מספר תוצאות נוחות למספר תוצאות אפשריות.

חוק החיבור

עבור איחוד שני מאורעות:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

אם A ו-B זרים (לא יכולים להתקיים יחד), אז P(A ∩ B) = 0 והנוסחה הופכת ל-P(A) + P(B).

חוק הכפל

עבור חיתוך שני מאורעות:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)

אם A ו-B בלתי-תלויים, אז P(B|A) = P(B) והנוסחה הופכת ל-P(A) · P(B).

משלים

המאורע המשלים, סימן A̅, כולל את כל התוצאות שלא ב-A:

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

שיטות ספירה

תמורות (פרמוטציות)

מספר הסידורים של n פריטים שונים בשורה:

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1

תמורות חלקיות

מספר הסידורים של k פריטים מתוך n:

\frac{n!}{(n-k)!}

צירופים

מספר הבחירות של k פריטים מתוך n (בלי חשיבות לסדר):

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

דוגמה: הסתברות בסיסית

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים. מוציאים כדור אחד. מה הסתברות שיהיה אדום?

פתרון. P(אדום) = 4/10 = 0.4.

דוגמה: חוק החיבור

בקבוצת תלמידים, 60% לומדים מתמטיקה, 50% לומדים פיזיקה, ו-30% לומדים את שניהם. מה הסתברות שתלמיד אקראי לומד לפחות אחד מהמקצועות?

פתרון.

P(M \cup P) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8

דוגמה: צירופים

בכיתה 25 תלמידים. בוחרים ועדה של 3 תלמידים. כמה ועדות שונות אפשריות?