התפלגויות הסתברות לבגרות: בינומית ונורמלית

התפלגויות הסתברות מתארות איך הסתברות מתחלקת על-פני ערכים אפשריים של משתנה מקרי. בבגרות נפגשים בעיקר עם שתי התפלגויות: בינומית (4 ו-5 יחידות) ונורמלית (5 יחידות).

משתנה מקרי

משתנה מקרי X הוא משתנה שערכו תלוי בתוצאה של ניסוי. הסתברותו מוגדרת על-ידי התפלגות: רשימה (או נוסחה) של P(X = x) לכל x אפשרי.

תוחלת

הממוצע המשוקלל של ערכי X:

$$E(X) = \sum_x x \cdot P(X = x)$$

שונות וסטיית תקן

מדד לפיזור ערכי X סביב התוחלת:

$$\text{Var}(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ $$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$$

התפלגות בינומית

תיאור: בוצעו n ניסויים בלתי-תלויים, בכל אחד הסתברות הצלחה p. המשתנה המקרי X = מספר ההצלחות.

נוסחת הסתברות נקודתית

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

תוחלת ושונות

$$E(X) = np$$ $$\text{Var}(X) = np(1-p)$$

דוגמה

מטילים מטבע הוגן 10 פעמים. מה הסתברות לקבל בדיוק 3 עצים?

$$P(X = 3) = \binom{10}{3} (0.5)^3 (0.5)^7 = 120 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.117$$

התפלגות נורמלית (5 יחידות בלבד)

התפלגות רציפה, סימטרית סביב הממוצע, בצורת פעמון. נכתבת X ~ N(μ, σ²) כאשר μ תוחלת ו-σ סטיית תקן.

תכונות

• סימטרית סביב μ
• 68% מהאוכלוסייה בתחום μ ± σ
• 95% בתחום μ ± 2σ
• 99.7% בתחום μ ± 3σ

ציון תקני

מעבר מהמשתנה המקורי לציון תקני (התפלגות N(0,1)):

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

הציון התקני מציין כמה סטיות-תקן הערך רחוק מהממוצע. אחרי המעבר, משתמשים בטבלת הסטנדרטית (טבלת Z) או במחשבון.

דוגמה

גובה אוכלוסיה בהתפלגות נורמלית עם ממוצע 170 ס"מ וסטיית תקן 10 ס"מ. מה הסתברות לאדם גבוה מ-185?

פתרון. מעבר לציון תקני:

$$Z = \frac{185 - 170}{10} = 1.5$$

P(X > 185) = P(Z > 1.5) ≈ 0.0668.

טעויות נפוצות

1. שימוש בנוסחת בינומית כשהניסויים תלויים. בינומית מחייבת בלתי-תלות בין ניסויים.
2. בלבול בין הסתברות נקודתית להסתברות "לפחות k". P(X = k) שונה מ-P(X ≥ k).
3. שכחת מעבר לציון תקני בהתפלגות נורמלית. הטבלאות עובדות רק על N(0,1).
4. חישוב סטיית תקן במקום שונות (ולהפך). סטיית תקן היא שורש של שונות.

עמודים קשורים

• הסתברות
• יסודות הסתברות
• הסתברות מותנית