תמורה לעומת צירוף: מתי הסדר חשוב ומתי לא

תמורה וצירוף הם שני המושגים הבסיסיים בקומבינטוריקה. הם נראים דומים אבל מודדים דברים שונים: תמורה מתחשבת בסדר, צירוף לא.

הגדרות

תמורה של k פריטים מתוך n: מספר הסידורים האפשריים. מסומן P(n, k):

$$P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$$

צירוף של k פריטים מתוך n: מספר הקבוצות בנות k פריטים שאפשר לבחור. מסומן C(n, k) או \binom{n}{k}:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

הקשר ביניהן

$$\binom{n}{k} = \frac{P(n, k)}{k!}$$

תמורה היא צירוף כפול מספר הסידורים האפשריים של k פריטים. כלומר תמורה גדולה מצירוף ב-k!.

דוגמה הדדית

יש 5 שחקנים בקבוצה. כמה דרכים יש לבחור 3 שחקנים?

אם הסדר חשוב (למשל, בחירת קפטן, סגן קפטן, וגזבר):

$$P(5, 3) = \frac{5!}{2!} = 60$$

אם הסדר לא חשוב (למשל, בחירת 3 חברי ועד שווי תפקיד):

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$$

ההבדל. 60 לעומת 10. הגורם 6 הוא 3! = 6, מספר הסידורים של 3 פריטים.

טבלת השוואה

איך מזהים בשאלה

סימנים לתמורה:

• "בכמה דרכים אפשר לסדר".
• "ראשון, שני, שלישי" (טריאתלון, פודיום).
• "בכמה דרכים אפשר לבחור תפקידים שונים".

סימנים לצירוף:

• "בכמה דרכים אפשר לבחור".
• "כמה קבוצות בנות k אפשריות".
• "כמה זוגות".

דוגמה. שאלת בגרות קלאסית

יש 10 ספרים ובמדף 4 מקומות. בכמה דרכים אפשר לסדר 4 ספרים על המדף?

ניתוח. הסדר חשוב כי כל מקום על המדף שונה. תמורה.

$$P(10, 4) = \frac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$$

לעומת זאת: "בכמה דרכים לבחור 4 ספרים מתוך 10 לקריאה" (בלי לסדר):

$$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210$$

טעות שכיחה

תלמידים לעיתים משתמשים בתמורה כשהשאלה לא דורשת סדר. למשל, "בחירת חמישה נציגים מתוך עשרים" היא צירוף, לא תמורה. השימוש בתמורה ייתן תשובה גדולה פי 5! מהנכונה, וזו שגיאה.

עמודים קשורים

• נוסחת ברנולי
• הסתברות בסיסית
• הגרלה עם החזרה לעומת ללא החזרה