הגרלה עם החזרה לעומת ללא החזרה: טעות נפוצה בהסתברות

ההבדל בין הגרלה עם החזרה לבלי החזרה הוא קריטי: בלי החזרה הסיכויים משתנים אחרי כל שליפה, ועם החזרה הם נשארים זהים. שאלות בסיסיות בהסתברות פותרים אחרת לפי המודל.

הגדרות

עם החזרה: אחרי כל שליפה, מחזירים את הפריט לקבוצה. הקבוצה זהה לפני כל שליפה.

בלי החזרה: אחרי כל שליפה, הפריט לא חוזר. הקבוצה מצטמצמת.

דוגמה הדדית

שק מכיל 5 כדורים אדומים ו-3 כדורים שחורים. שולפים שני כדורים. מה הסיכוי ששניהם אדומים?

עם החזרה

הסיכוי לאדום בכל שליפה: 5/8. שני האירועים בלתי תלויים, אז:

$$P = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64} \approx 0.391$$

בלי החזרה

הסיכוי לאדום בשליפה ראשונה: 5/8. אחריו, נשארו 4 אדומים ו-3 שחורים, סך הכל 7. הסיכוי לאדום שני: 4/7.

$$P = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0.357$$

ההבדל קטן אבל חשוב.

הטעות הקלאסית

תלמיד פותר שאלה בלי החזרה, אבל משתמש בנוסחה של עם החזרה (לא משנה את ההסתברות אחרי השליפה הראשונה).

טעות: הסיכוי לשניים אדומים = (5/8)².

תיקון: מאחר שזה בלי החזרה, אחרי השליפה הראשונה הקבוצה מצטמצמת. הסיכוי המותנה לאדום שני נמוך יותר.

איך לזהות בשאלה

• "שולפים מהשק כדור אחד כל פעם ומחזירים": עם החזרה.
• "בוחרים שני כדורים מהשק": בלי החזרה, אלא אם נאמר אחרת.
• "מטילים מטבע 5 פעמים": עם החזרה (כל הטלה בלתי תלויה).
• "בוחרים נציגים מקבוצה": בלי החזרה (לא יכולים לבחור אותו אדם פעמיים).
• "מוציאים קלפים מהחפיסה": בלי החזרה, אלא אם נאמר במפורש שמחזירים.

ברנולי. רק בעם החזרה

נוסחת ברנולי דורשת בלתי תלות בין הניסיונות, שמתקיימת רק עם החזרה. הסיכוי בדיוק ל-k הצלחות מתוך n:

$$P = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

ב-n ניסיונות עם הסתברות p לכל הצלחה.

דוגמה. מטילים מטבע 5 פעמים. סיכוי שיצאו בדיוק 3 פעמים עץ:

$$P = \binom{5}{3} (1/2)^3 (1/2)^2 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$$

בלי החזרה. נוסחת היפרגאומטרית

אם בוחרים k פריטים מתוך n שמהם K הצלחות, ההסתברות ל-x הצלחות בדיוק:

$$P = \frac{\binom{K}{x} \binom{n-K}{k-x}}{\binom{n}{k}}$$

בבגרות עד 4 יחידות, בדרך כלל פותרים בלי החזרה דרך מכפלת הסתברויות בסדר, לא דרך הנוסחה הזו.

איך להימנע

1. קראו את השאלה פעמיים וזהו במפורש האם יש החזרה.
2. רשמו על דף הטיוטה: "עם החזרה" או "ללא החזרה".
3. בדקו את חישובכם באמצעות מקרה פשוט. למשל, אם יש רק 2 כדורים בשק, אי אפשר לשלוף שלושה בלי החזרה.

עמודים קשורים

• נוסחת ברנולי
• התפלגות נורמלית