משוואה לעומת אי-שוויון: שני סוגי בעיות אלגבריות

משוואה ואי-שוויון הם שני סוגי בעיות בסיסיות באלגברה. הם משתמשים בטכניקות דומות, אבל הפתרון שונה באופיו.

הגדרות

משוואה: שוויון בין שני ביטויים. למשל 2x + 3 = 7. הפתרון הוא ערכי x שעבורם שני הצדדים שווים.

אי-שוויון: קשר של "גדול מ", "קטן מ", "גדול שווה", או "קטן שווה" בין שני ביטויים. למשל 2x + 3 < 7. הפתרון הוא טווח של ערכי x שמקיימים את הקשר.

דוגמה משווה

משוואה: 2x + 3 = 7. פתרון: x = 2.

אי-שוויון: 2x + 3 < 7. פתרון: x < 2, או (−∞, 2).

ההבדל. המשוואה ניתנה ערך אחד, אי-השוויון נתן קטע אינסופי.

טבלת השוואה

כלל היפוך הסימן

זוהי הבחנה ייחודית של אי-שוויון. כשמכפילים או מחלקים את שני הצדדים במספר שלילי, הסימן מתהפך:

$$-2x > 6 \implies x < -3$$

חלוקה ב-−2 הפכה את > ל-<. ראו שכחת היפוך הסימן באי-שוויון.

אי-שוויון ריבועי

x² − 5x + 6 > 0.

שלב 1. פתירת המשוואה הריבועית. x² − 5x + 6 = 0, פתרונות x = 2 ו-x = 3.

שלב 2. ניתוח סימן. הפרבולה f(x) = x² − 5x + 6 פותחת כלפי מעלה. היא חיובית מחוץ לקטע השורשים, ושלילית בתוכו.

שלב 3. פתרון. x < 2 או x > 3.

זה שונה ממשוואה ריבועית שנותנת בדיוק שני פתרונות.

אי-שוויון רציונלי

(x − 1)/(x + 2) > 0.

שלב 1. אפסים ונקודות אי-הגדרה. x = 1 (אפס של המונה), x = −2 (אפס של המכנה).

שלב 2. טבלת סימנים:

שלב 3. פתרון. המנה חיובית: x < −2 או x > 1. x = −2 לא בתחום (פוסל את המכנה).

ראו אי-שוויון רציונלי.

בעיות עם אי-שוויון

אי-שוויונים מופיעים בבעיות מציאת תחום הגדרה, השוואה בין פונקציות, ובעיות אופטימיזציה (כש"גדול מ" משמש כתנאי).

דוגמה. מצאו את התחום של f(x) = √(x² − 4).

תנאי: x² − 4 ≥ 0. אי-שוויון. פתרון: x ≤ −2 או x ≥ 2. תחום: (−∞, −2] ∪ [2, ∞).

מערכת אי-שוויונים

לעיתים יש שתי אי-שוויונים שצריכים להתקיים יחד. הפתרון הוא חיתוך הפתרונות:

x > 1 וגם x < 5: פתרון 1 < x < 5.

אם רוצים את אחד מהם להתקיים, הפתרון הוא איחוד:

x > 5 או x < 1: פתרון (−∞, 1) ∪ (5, ∞).

איך להחליט. משוואה או אי-שוויון

קראו את השאלה:

• "מצאו ערכי x שבהם..." (בלי "גדול" או "קטן"): משוואה.
• "מצאו ערכי x שבהם הפונקציה חיובית/שלילית": אי-שוויון.
• "באילו ערכים הפונקציה גדלה במהירות מ-2": אי-שוויון.
• "מצאו את כל הפתרונות": תלוי בסוג הביטוי.

עמודים קשורים

• אי-שוויון רציונלי
• אי-שוויון עם ערך מוחלט
• שכחת היפוך הסימן באי-שוויון