שכחת היפוך הסימן באי-שוויון: כשמכפילים במספר שלילי

אי-שוויון מתנהג כמו שוויון רוב הזמן, אבל יש כלל אחד שונה לחלוטין: הכפלה או חלוקה במספר שלילי הופכת את הסימן.

הטעות הקלאסית

פתרו: −2x > 6.

פתרון שגוי:

$$-2x > 6 \implies x > -3$$

זה לא נכון. בודקים: x = 0 מקיים x > −3, אבל מציבים במקור: −2 · 0 = 0, ו-0 > 6 שקר.

פתרון נכון:

$$-2x > 6 \implies x < -3$$

חלוקה ב-−2 הפכה את הסימן מ-> ל-<.

למה זה קורה

כשמכפילים בשלילי, הסדר הטבעי על קו המספרים מתהפך. למשל, 2 < 5. נכפיל ב-−1: −2 > −5. הסדר התהפך.

דוגמה עם משוואה מורכבת

פתרו: 3 − 4x ≤ 11.

$$-4x \leq 11 - 3 = 8 \implies x \geq -2$$

חלוקה ב-−4 הפכה את ≤ ל-≥. הפתרון: x ≥ −2.

איך להימנע

• סמנו בעט אדום את המקדם של x. אם הוא שלילי, סובבו את חץ האי-שוויון לפני שאתם ממשיכים.
• בדקו עם ערך פשוט. הציבו x = 0 או x = −5 ובדקו שהוא מקיים גם את המקור וגם את התוצאה.
• תרגלו על קו המספרים. ציורי הקו עוזרים לראות שהסימן התהפך.

אי-שוויון עם פרמטר

kx > 5.

• אם k > 0: x > 5/k.
• אם k < 0: x < 5/k.
• אם k = 0: 0 > 5 שקר, אין פתרון.

כל מקרה מקבל אי-שוויון אחר. שכחת ההיפוך במקרה השני הופכת את הפתרון לאוסף שגוי לחלוטין.

בדיקה תמיד

לאחר פתרון אי-שוויון, קחו ערך אחד מתוך הפתרון והציבו במקור. אם הוא מקיים, הסיכוי שהפתרון נכון גבוה מאוד. אם לא, חזרו לבדוק את שלב ההיפוך.

עמודים קשורים

• אי-שוויון רציונלי
• אי-שוויון עם ערך מוחלט