אי-שוויון עם ערך מוחלט: שיטות פתרון ודוגמאות

אי-שוויון עם ערך מוחלט דורש זהירות בגלל הסימן המוחלט. שתי שיטות עיקריות לפתרון: ריבוע (כשאפשר), או פירוק למקרים.

הזהויות הבסיסיות

עבור a > 0:

(כאן abs(x) הוא ערך מוחלט של x.)

שיטה 1: ריבוע

כאשר אי-השוויון בין שני ביטויים אי-שליליים, ניתן לרבע בלי לאבד מידע:

$$abs(f(x)) < g(x) \iff f(x)^2 < g(x)^2, \quad g(x) > 0$$

(תקף רק אם g חיובי. אחרת רבע לא מורשה.)

שיטה 2: פירוק למקרים

עבור כל ערך מוחלט מפרקים לפי סימן הביטוי שבתוכו:

• אם f(x) ≥ 0: abs(f(x)) = f(x)
• אם f(x) < 0: abs(f(x)) = −f(x)

ופותרים את אי-השוויון בכל מקרה בנפרד, ולבסוף לוקחים איחוד הפתרונות (חתוך עם תנאי המקרה).

דוגמה 1: בסיסית

פתרו: abs(x − 3) < 5.

פתרון.

$$-5 < x - 3 < 5 \implies -2 < x < 8$$

דוגמה 2: אי-שוויון "גדול"

פתרו: abs(2x − 1) ≥ 7.

פתרון.

$$2x - 1 \leq -7 \text{ או } 2x - 1 \geq 7$$ $$x \leq -3 \text{ או } x \geq 4$$

דוגמה 3: פירוק למקרים

פתרו: abs(x − 1) + abs(x − 3) < 4.

פתרון. הנקודות החשובות: x = 1 ו-x = 3. נחלק לשלושה תחומים:

מקרה א': x < 1

$$-(x-1) - (x-3) < 4 \implies -2x + 4 < 4 \implies x > 0$$

חיתוך עם x < 1: 0 < x < 1.

מקרה ב': 1 ≤ x ≤ 3

$$(x-1) - (x-3) < 4 \implies 2 < 4$$

תמיד נכון. כל 1 ≤ x ≤ 3 פתרון.

מקרה ג': x > 3

$$(x-1) + (x-3) < 4 \implies 2x - 4 < 4 \implies x < 4$$

חיתוך עם x > 3: 3 < x < 4.

איחוד: 0 < x < 4.

דוגמה 4: ריבוע

פתרו: abs(x + 1) ≥ abs(x − 3).

פתרון. שני האגפים אי-שליליים, ניתן לרבע:

$$(x + 1)^2 \geq (x - 3)^2 \implies x^2 + 2x + 1 \geq x^2 - 6x + 9$$ $$8x \geq 8 \implies x \geq 1$$

טעויות נפוצות

1. ריבוע כשאחד האגפים שלילי. אם אגף ימני שלילי, אי-השוויון abs(f) < g בלתי-אפשרי כי ערך מוחלט תמיד אי-שלילי.
2. השמטת חיתוך עם תנאי המקרה בפירוק למקרים. הפתרון תקף רק בתחום של המקרה.
3. בלבול בסימן הפנימי. abs(f) שווה ל-f כש-f ≥ 0, ול-−f כש-f < 0, לא להפך.

עמודים קשורים

• אי-שוויונות
• אי-שוויון רציונלי
• משוואות
• סוגי שאלות