אי-שוויון רציונלי: שיטת פתרון בעזרת טבלת סימנים

אי-שוויון רציונלי הוא אי-שוויון שמערב מנה של פולינומים. הקושי המרכזי: לא ניתן להכפיל ישירות במכנה כי לא ידוע הסימן שלו. הדרך הבטוחה: טבלת סימנים.

תבנית השאלה

צורה כללית:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad (\text{או} <, \geq, \leq)$$

כאשר P ו-Q פולינומים.

שיטת הפתרון

1. העבירו הכל לאגף אחד: מצב סטנדרטי f(x)/g(x) > 0 (או <).
2. מצאו את האפסים של המונה ושל המכנה.
3. בנו טבלת סימנים עם כל הנקודות.
4. קראו את התשובה לפי הסימן הנדרש.
5. שימו לב לתחום ההגדרה: המכנה לא יכול להיות אפס.

דוגמה 1: בסיסי

פתרו: (x − 1) / (x + 2) > 0.

פתרון. אפסים: מונה ב-x=1, מכנה ב-x=−2.

הצפעון חיובי: x < −2 או x > 1.

(שימו לב: x = −2 לא בתחום ההגדרה. x = 1 עושה את המונה אפס, אז אם השאלה > (חזק), זה לא נכלל. אם ≥, אז x = 1 כן נכלל.)

דוגמה 2: עם פירוק לגורמים

פתרו: (x² − 4) / (x + 3) ≤ 0.

פתרון. פירוק: (x − 2)(x + 2) / (x + 3) ≤ 0. אפסים: x = 2, −2, −3.

תוצאה אי-חיובית: x < −3 או −2 ≤ x ≤ 2.

(שימו לב: x = −3 חייב להיות מודר. x = −2 ו-x = 2 מקיימים שוויון לאפס, אז נכללים.)

דוגמה 3: העברה לאגף אחד

פתרו: (x + 1) / (x − 1) ≥ 2.

פתרון. מעבירים הכל לאגף אחד:

$$\frac{x + 1}{x - 1} - 2 \geq 0 \implies \frac{x + 1 - 2(x - 1)}{x - 1} \geq 0 \implies \frac{3 - x}{x - 1} \geq 0$$

אפסים: x = 3 ו-x = 1. טבלה:

תוצאה אי-שלילית: 1 < x ≤ 3. (x = 1 מודר. x = 3 מקיים שוויון, נכלל.)

טעויות נפוצות

1. כפל במכנה ללא בדיקת סימן. עלול להפוך את כיוון אי-השוויון.
2. שכחת תחום ההגדרה. המכנה אינו יכול להיות אפס. שורשי המכנה אינם פתרונות.
3. חיתוך לא נכון של תחומים. תמיד לבדוק עם דוגמה מספרית בכל תחום.

עמודים קשורים

• אי-שוויונות
• נוסחת השורשים
• סוגי שאלות