חפיפה לעומת דמיון: מה ההבדל בין משפטי השוויון

חפיפה בין משולשים פירושה ששני המשולשים זהים בגודל ובצורה. דמיון פירושו שהמשולשים זהים בצורה אבל לא בהכרח בגודל. כל זוג צלעות מקבילות עומד ביחס קבוע. חפיפה היא דמיון עם יחס 1.

משפטי החפיפה

יש ארבעה משפטי חפיפה למשולשים:

• צ.צ.צ: שלוש צלעות שוות.
• צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן שוות.
• ז.צ.ז: זווית, צלע, וזווית סמוכה שוות.
• צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שאינה כלואה. תקף רק אם הצלע הגדולה מתאימה.

משפטי הדמיון

יש שלושה משפטי דמיון למשולשים:

• ז.ז: שתי זוויות שוות מספיקות. (אם שתיים שוות, השלישית אוטומטית שווה.)
• צ.צ.צ ביחס קבוע: שלוש צלעות ביחס קבוע.
• צ.ז.צ עם יחס: שתי צלעות ביחס קבוע והזווית הכלואה שווה.

ההבדל המרכזי

בחפיפה דורשים שוויון של מידות. בדמיון דורשים שוויון של זוויות ויחס קבוע של צלעות.

דוגמה

נתון משולש ABC ו-DEF. ידוע: AB = 4, BC = 6, AC = 8, DE = 6, EF = 9, DF = 12.

בדיקת דמיון: היחסים DE/AB = 6/4 = 1.5, EF/BC = 9/6 = 1.5, DF/AC = 12/8 = 1.5. כל היחסים זהים, אז המשולשים דומים עם יחס דמיון 1.5.

חפיפה? המשולשים לא חופפים כי הצלעות לא שוות. הם דומים אבל בגודל שונה.

יחס שטחים

אם משולשים דומים ביחס k, השטחים נמצאים ביחס k². בדוגמה למעלה, יחס הדמיון הוא 1.5, אז יחס השטחים 1.5² = 2.25. השטח של DEF גדול פי 2.25 מהשטח של ABC.

מתי משתמשים בכל אחד

• חפיפה. כשרוצים להוכיח שצלעות או זוויות מסוימות שוות זו לזו.
• דמיון. כשרוצים למצוא צלע בעזרת יחס, או להוכיח שזוויות מסוימות שוות (ולא הצלעות).

טעות שכיחה

לעיתים תלמידים מנסים להשתמש ב-ז.ז כמשפט חפיפה. ז.ז הוא משפט דמיון בלבד. שני משולשים יכולים להיות עם אותן זוויות אבל בגדלים שונים, אז זוויות שוות לבדן לא מוכיחות חפיפה.

עמודים קשורים

• הוכחות חפיפה
• הוכחות דמיון
• משולש כללי