סדרה חשבונית לעומת הנדסית: מה ההבדל וכיצד מזהים

סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל איבר לקודמו קבוע. סדרה הנדסית היא סדרה שבה המנה בין כל איבר לקודמו קבועה. שתי המבנים שונים לחלוטין: האחד מתפתח באופן ליניארי, השני מעריכי.

הגדרות

חשבונית עם איבר ראשון a₁ והפרש d:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

הנדסית עם איבר ראשון a₁ ומנה q:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

טבלת השוואה

דוגמה. סדרה חשבונית

2, 5, 8, 11, 14, .... ההפרש: d = 3. האיבר הראשון: a₁ = 2.

האיבר העשירי:

$$a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$$

סכום עשרת האיברים הראשונים:

$$S_{10} = \frac{10 \cdot (2 + 29)}{2} = 155$$

דוגמה. סדרה הנדסית

3, 6, 12, 24, 48, .... המנה: q = 2. האיבר הראשון: a₁ = 3.

האיבר השביעי:

$$a_7 = 3 \cdot 2^6 = 192$$

סכום שבעת האיברים הראשונים:

$$S_7 = \frac{3 \cdot (2^7 - 1)}{2 - 1} = 3 \cdot 127 = 381$$

סכום אינסופי

קיים רק בסדרה הנדסית, ורק כש-|q| < 1. אז:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$

בסדרה חשבונית לא קיים סכום אינסופי (אלא אם כל האיברים אפס).

איך מזהים בשאלה

• שאלות ריבית דריבית, גידול אוכלוסיה, או דעיכת חומר רדיואקטיבי: הנדסית. הגידול הוא באחוז קבוע, כלומר במכפלה.
• שאלות שכר חודשי שעולה במספר קבוע, אורך מסלול שמתארך בקטע קבוע: חשבונית. התוספת הקבועה היא חיבור, לא מכפלה.
• שאלה שאומרת "אחוז" או "פי": סימן ברור לסדרה הנדסית.
• שאלה שאומרת "פלוס" או "ב-": סימן חזק לסדרה חשבונית.

טעות שכיחה

תלמידים לעיתים משתמשים בנוסחת סכום חשבונית לסדרה הנדסית או להפך. תמיד בודקים תחילה את סוג הסדרה לפני שמציבים בנוסחה.

עמודים קשורים

• נוסחאות סדרה חשבונית
• נוסחאות סדרה הנדסית
• סכום סדרה הנדסית אינסופית