דף נוסחאות חדו"א: גזירה, אינטגרל, וחקירת פונקציות

דף נוסחאות מקיף לחדו"א לבגרות. חוקי גזירה, טבלת נגזרות ואינטגרלים, חקירת פונקציה, בעיות קיצון, ונפח גוף סיבוב.

עודכן ב-27 במאי 2026

דף נוסחאות מלא לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. החל מחוקי גזירה ועד נפח גוף סיבוב. נדרש ב-4 ו-5 יחידות.

חוקי גזירה

בסיסיים

(c)' = 0, \quad (x)' = 1

(f \pm g)' = f' \pm g', \quad (c \cdot f)' = c \cdot f'

חוק המכפלה

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

חוק המנה

\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

חוק השרשרת

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

טבלת נגזרות

f(x)	f'(x)
`c` (קבוע)	`0`
`xⁿ`	`n xⁿ⁻¹`
`√x`	`1 / (2√x)`
`1/x`	`-1/x²`
`eˣ`	`eˣ`
`aˣ`	`aˣ · ln a`
`ln x`	`1/x`
`log_a x`	`1 / (x · ln a)`
`sin x`	`cos x`
`cos x`	`-sin x`
`tan x`	`1/cos²x`

טבלת אינטגרלים

f(x)	אינטגרל
`0`	`C`
`1`	`x + C`
`xⁿ` (n ≠ -1)	`xⁿ⁺¹/(n+1) + C`
`1/x`	`ln
`eˣ`	`eˣ + C`
`aˣ`	`aˣ / ln a + C`
`sin x`	`-cos x + C`
`cos x`	`sin x + C`
`1/cos²x`	`tan x + C`

אינטגרלים עם פונקציה לינארית פנימית

f(x)	אינטגרל
`(ax + b)ⁿ` (n ≠ -1)	`(ax+b)ⁿ⁺¹ / (a(n+1)) + C`
`1/(ax+b)`	`(1/a) · ln
`e^{ax+b}`	`(1/a) · e^{ax+b} + C`
`sin(ax+b)`	`-(1/a) · cos(ax+b) + C`
`cos(ax+b)`	`(1/a) · sin(ax+b) + C`

חקירת פונקציה

שלבי החקירה

תחום הגדרה
נקודות חיתוך עם הצירים
אסימפטוטות
נגזרת ראשונה ונקודות קיצון
נגזרת שנייה ונקודות פיתול (5 יחידות)
טבלת סיכום ושרטוט

זיהוי קיצון

f'(x) = 0 ו-f''(x) < 0 ⇒ מקסימום
f'(x) = 0 ו-f''(x) > 0 ⇒ מינימום
f'(x) = 0 ו-f''(x) = 0 ⇒ אולי פיתול אופקי

אסימפטוטות (רציונליות)

יחס מעלות	אסימפטוטה אופקית
`מעלת P < מעלת Q`	`y = 0`
`מעלת P = מעלת Q`	`y = (מקדם P)/(מקדם Q)`
`מעלת P > מעלת Q`	אין אופקית (יש משופעת)

בעיות קיצון

תבנית פתרון

הגדירו משתנה x.
כתבו את הגודל המבוקש כפונקציה f(x).
מצאו תחום חוקי.
f'(x) = 0 לקיצון חשוד.
בדקו עם f''(x).
חישבו את הגודל המבוקש.

חישוב שטחים ונפחים

שטח בין עקומה לציר X

S = \int_a^b f(x) \, dx \quad (f \geq 0)

שטח בין שתי עקומות

S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx \quad (f \geq g)

נפח גוף סיבוב סביב ציר X

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx

נפח גוף סיבוב סביב ציר Y

V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy \quad (x = g(y))

משיק לעקומה

נוסחת המשיק בנקודה (a, f(a)):

y - f(a) = f'(a) (x - a)