בעיות ריבית דריבית: שיטת פתרון ודוגמאות

בעיות ריבית דריבית הן יישום הנפוץ ביותר של סדרה הנדסית. הריבית מצטברת על הקרן ועל הריבית המצטברת מתקופות קודמות, מה שיוצר גידול מעריכי.

הנוסחה הבסיסית

עם קרן ראשונית P, ריבית שנתית r (עשרוני), ו-n שנים:

$$A = P (1 + r)^n$$

A הוא הערך הסופי אחרי n שנים.

קשר לסדרה הנדסית

הסכומים אחרי כל שנה יוצרים סדרה הנדסית:

• שנה 0: P
• שנה 1: P(1+r)
• שנה 2: P(1+r)²
• ...
• שנה n: P(1+r)ⁿ

עם מנה q = 1 + r.

שיטת הפתרון

1. זהו את הקרן הראשונית P והריבית r.
2. חשבו את גורם הכפל השנתי 1 + r.
3. העלו בחזקת n (מספר השנים).
4. הכפילו ב-P לקבלת הערך הסופי.

דוגמה 1: ערך עתידי של הפקדה

הפקדה של 1000 ש"ח בריבית שנתית של 5%. מה הערך אחרי 10 שנים?

פתרון.

$$A = 1000 \cdot (1.05)^{10} \approx 1000 \cdot 1.6289 \approx 1628.9$$

דוגמה 2: מציאת זמן

הפקדה של 5000 ש"ח בריבית שנתית של 4%. אחרי כמה שנים תיכפל הקרן?

פתרון.

$$10000 = 5000 \cdot (1.04)^n \implies 2 = (1.04)^n$$

מפעילים log:

$$n = \frac{\log 2}{\log 1.04} \approx \frac{0.3010}{0.01703} \approx 17.67$$

צריך בערך 18 שנים.

דוגמה 3: מציאת ריבית

הפקדה של 2000 ש"ח גדלה ל-3000 ש"ח אחרי 5 שנים. מהי הריבית השנתית?

פתרון.

$$3000 = 2000 \cdot (1 + r)^5 \implies (1 + r)^5 = 1.5$$ $$1 + r = 1.5^{1/5} \approx 1.0845 \implies r \approx 8.45\%$$

דוגמה 4: גידול אוכלוסיה

אוכלוסיית עיר גדלה ב-2% בשנה. כמה תהיה האוכלוסיה אחרי 20 שנה אם היא עומדת היום על 100,000?

פתרון.

$$A = 100000 \cdot (1.02)^{20} \approx 100000 \cdot 1.4859 \approx 148590$$

דעיכה (ריבית שלילית)

כש-r שלילי, הערך יורד. למשל, ירידת ערך של מכונית ב-15% בשנה:

$$A = P \cdot (1 - 0.15)^n = P \cdot 0.85^n$$

טעויות נפוצות

1. שימוש בריבית פשוטה במקום בריבית דריבית. הראשונה גידול לינארי, השנייה אקספוננציאלי.
2. שכחה ש-r באחוזים צריך להפוך לעשרוני. 5% הוא 0.05, לא 5.
3. חישוב לפני שנה אחת. הערך אחרי n שנים הוא הקרן כפול (1+r)^n, לא (1+r)^(n−1).

עמודים קשורים

• סדרה הנדסית
• בעיות אחוזים
• חוקי לוגריתמים
• סוגי שאלות