בעיות אחוזים: שיטות פתרון ודוגמאות מבגרות

בעיות אחוזים הן הסוג הבסיסי ביותר של בעיות מילוליות. הקושי אינו במתמטיקה אלא בתרגום מילולי לאלגברה.

הרעיון הבסיסי

אחוז הוא חלק מ-100. p% של ערך a שווה ל:

$$\frac{p}{100} \cdot a$$

לדוגמה, 20% של 50 שווה ל-10.

הנחה וייקור כגורם כפל

הנחה של p%: הערך נכפל ב-1 − p/100.

ייקור של p%: הערך נכפל ב-1 + p/100.

דוגמה 1: הנחה

חולצה במחיר 200 ש"ח. ההנחה היא 30%. מה המחיר אחרי ההנחה?

פתרון.

$$200 \cdot 0.7 = 140 \text{ ש"ח}$$

דוגמה 2: ייקור והנחה משולבים

מוצר התייקר ב-20% ואחר כך הוזל ב-20%. מה השינוי הסופי במחיר?

פתרון. הגורם המשולב:

$$1.2 \cdot 0.8 = 0.96$$

ירידה של 4% מהמחיר ההתחלתי. לא חוזרים למחיר המקורי.

דוגמה 3: ריבית פשוטה

הפקדה של 1000 ש"ח בריבית שנתית של 5%. מה הערך אחרי 4 שנים בריבית פשוטה?

פתרון.

$$1000 + 0.05 \cdot 1000 \cdot 4 = 1000 + 200 = 1200$$

דוגמה 4: ריבית דריבית

הפקדה של 1000 ש"ח בריבית שנתית של 5%. מה הערך אחרי 4 שנים בריבית דריבית?

פתרון.

$$1000 \cdot 1.05^4 \approx 1000 \cdot 1.2155 = 1215.5$$

ראו סדרה הנדסית להעמקה.

דוגמה 5: מציאת אחוז

מחיר ירד מ-80 ש"ח ל-60 ש"ח. מה אחוז ההנחה?

פתרון.

$$\text{הנחה} = \frac{80 - 60}{80} \cdot 100\% = 25\%$$

טעויות נפוצות

1. הוספת אחוזים במקום הכפלה. הנחה של 30% ואז הנחה של 20% לא נותנת הנחה של 50%. גורם הכפל הוא 0.7 · 0.8 = 0.56, כלומר הנחה של 44%.
2. שכחת המחיר הסופי. אם אחוזי השינוי חיוביים, המחיר עולה. אם שליליים, יורד.
3. בלבול בין ריבית פשוטה לריבית דריבית. בפשוטה הריבית קבועה לכל שנה. בדריבית הריבית מצטברת על הריבית הקודמת.

עמודים קשורים

• בעיות תנועה
• בעיות עבודה משותפת
• סדרה הנדסית
• סוגי שאלות