בעיות עבודה משותפת: שיטת פתרון מלאה ודוגמאות

בעיות עבודה משותפת הן סוג נפוץ של בעיות מילוליות. הרעיון: כשכמה עובדים פועלים יחד, הקצבים שלהם מתחברים. הקושי הוא לתרגם את ה"זמן לסיום" לקצב.

הרעיון הבסיסי

אם עובד מסיים עבודה ב-t שעות, קצבו הוא:

$$\text{קצב} = \frac{1}{t}$$

כשכמה עובדים פועלים יחד, הקצבים מתחברים:

$$\text{קצב משותף} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots$$

זמן הסיום של עבודה משותפת:

$$t_{\text{יחד}} = \frac{1}{\text{קצב משותף}}$$

שיטת הפתרון

1. הגדירו את הזמן של כל עובד לבדו: t_1, t_2, ...
2. חשבו קצב של כל אחד: 1/t_i.
3. חברו את הקצבים לקבלת קצב משותף.
4. חישבו זמן משותף: 1 חלקי קצב משותף.

דוגמה 1: שני עובדים

עובד א' מסיים עבודה ב-6 שעות. עובד ב' מסיים אותה עבודה ב-3 שעות. כמה זמן ייקח לשניהם יחד?

פתרון.

$$\text{קצב משותף} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$t_{\text{יחד}} = \frac{1}{1/2} = 2 \text{ שעות}$$

דוגמה 2: עם משתנה

עובד א' עובד פי 2 מהר מעובד ב'. יחד הם מסיימים ב-4 שעות. כמה זמן ייקח לכל אחד לבדו?

פתרון. נסמן את זמן עובד ב' כ-x. אז זמן עובד א' הוא x/2. קצבים: 2/x ו-1/x.

$$\frac{2}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4} \implies \frac{3}{x} = \frac{1}{4} \implies x = 12$$

עובד ב': 12 שעות. עובד א': 6 שעות.

דוגמה 3: עם הפסקה

עובד א' עובד שעתיים לבדו, ואז מצטרף עובד ב'. שניהם יחד מסיימים את העבודה אחרי עוד שעה. עובד א' לבדו מסיים ב-6 שעות. כמה זמן ייקח לעובד ב' לבדו?

פתרון. נסמן את זמן עובד ב' כ-x. בשעתיים הראשונות עובד א' עשה 2/6 = 1/3 מהעבודה. נותר 2/3. בשעה השלישית הקצב המשותף הוא 1/6 + 1/x והם מסיימים 2/3:

$$\left( \frac{1}{6} + \frac{1}{x} \right) \cdot 1 = \frac{2}{3}$$ $$\frac{1}{x} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$x = 2$$

עובד ב' מסיים לבדו ב-2 שעות.

טעויות נפוצות

1. חיבור זמנים במקום קצבים. אם עובד א' מסיים ב-6 ועובד ב' ב-3, לא שניהם יסיימו ב-9 שעות יחד.
2. בלבול בין "קצב" ל"זמן". הקצב הוא הופכי של הזמן.
3. שכחה לעדכן עבודה שכבר נעשתה בבעיות עם הפסקות או הוספת עובדים.

עמודים קשורים

• בעיות תנועה
• בעיות אחוזים וריבית
• סוגי שאלות