בעיות תנועה במתמטיקה: שיטת פתרון מלאה ודוגמאות

בעיות תנועה הן ה-סוג הקלאסי של בעיות מילוליות. כולן מבוססות על משוואה אחת: מרחק = מהירות × זמן. הקושי הוא בתרגום הסיפור למשוואות.

המשוואה הבסיסית

$$v = \frac{d}{t} \implies d = v \cdot t, \quad t = \frac{d}{v}$$

שיטת הפתרון

1. בנו טבלה עם 3 שורות (כל "אובייקט" נוסע) ו-3 עמודות: מהירות (v), זמן (t), מרחק (d).
2. בחרו משתנה. בדרך-כלל המהירות הלא-ידועה או הזמן.
3. מלאו את הטבלה מהנתונים. השתמשו ב-d = vt לחישובים.
4. כתבו משוואה על-בסיס תנאי הבעיה (לרוב סכום או הפרש מרחקים/זמנים).
5. פתרו, בדקו סבירות. אם מהירות שלילית, חזרו אחורה.

תת-סוגים

א. בעיית פגישה

שני אובייקטים מתחילים בשתי נקודות שונות ונוסעים זה כלפי זה. התנאי: סכום המרחקים שעברו = המרחק המקורי ביניהם.

ב. בעיית הדבקה

אובייקט א' יוצא לפני אובייקט ב'. ב' מהיר יותר ומדביק. התנאי: המרחקים שעברו (מנקודת המוצא) שווים בזמן ההדבקה.

ג. תנועה בזרם

מהירות הסירה במים סטנדרטיים v, מהירות הזרם u. בזרם: v + u. נגד הזרם: v − u.

דוגמה 1: פגישה

שני רכבים יוצאים בו-זמנית משתי ערים שמרחקן 300 ק"מ זה לזה, ונוסעים זה כלפי זה. מהירות הראשון 70 קמ"ש, מהירות השני 80 קמ"ש. כעבור כמה זמן ייפגשו?

פתרון. סכום המהירויות = 70 + 80 = 150 קמ"ש. הזמן עד הפגישה:

$$t = \frac{300}{150} = 2 \text{ hours}$$

דוגמה 2: הדבקה

רכבת יוצאת מתחנה במהירות 60 קמ"ש. שעתיים מאוחר יותר, רכבת שנייה יוצאת מאותה תחנה באותו כיוון במהירות 100 קמ"ש. כמה זמן עוברת מיציאת הרכבת השנייה עד שתדביק את הראשונה?

פתרון. ב-2 השעות הראשונות הרכבת הראשונה עברה 60 · 2 = 120 ק"מ. אחרי שהשנייה יוצאת, הפרש המהירויות הוא 100 − 60 = 40 קמ"ש. הזמן לסגירת הפער:

$$t = \frac{120}{40} = 3 \text{ hours}$$

דוגמה 3: בזרם / נגד הזרם

סירה עוברת 30 ק"מ במורד הזרם תוך 2 שעות, ואותו מרחק נגד הזרם תוך 3 שעות. מצאו את מהירות הסירה במים שקטים ואת מהירות הזרם. פתרון.

• במורד: v + u = 30/2 = 15
• נגד: v − u = 30/3 = 10

חיבור: 2v = 25 → v = 12.5 קמ"ש. ולכן u = 2.5 קמ"ש.

טעויות נפוצות

1. שכחת להמיר יחידות. אם המהירות בקמ"ש והזמן בדקות, צריך להמיר.
2. בלבול בין סכום מהירויות (פגישה) להפרש מהירויות (הדבקה).
3. שכחת שהזמן מתחיל בנקודות יציאה שונות בבעיית הדבקה.
4. חוסר בדיקת סבירות. מהירות שלילית או פתרון לא פיזיקלי מצביעים על שגיאה במשוואה.

עמודים קשורים

• בעיות עבודה משותפת
• בעיות אחוזים
• תרגול בעיות תנועה