נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \). הגרף חותך את ציר ה-\(x\) בראשית הצירים ובנקודה שבה \( x=1 \), ויש לו אסימפטוטה אנכית ב-\( x=2 \). נתון הביטוי הבא, המוגדר עבור \( t < 2 \): \[ \int_{0}^{t} f(x) \,dx \] מה צריך להיות הערך של \( t \) על מנת שערך הביטוי הנ"ל יהיה הקטן ביותר? (נמקו)
הטיפ של עובד
זכרו שאינטגרל מסוים מחשב שטח מכוון.
כשאנחנו רצים על ציר ה-\(x\) (מ-0 ועד ל-\(t\)), אנחנו אוספים שטח. אזור שבו הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-\(x\) תורם ערך שלילי לסכום, ואזור שבו היא מעל לציר ה-\(x\) תורם ערך חיובי (שמקזז את המינוס).
כדי להגיע לערך הקטן ביותר (הכי שלילי שיש), אנחנו רוצים לאסוף אל תוך הסל שלנו את כל המינוסים האפשריים, ולסגור אותו בדיוק לפני שאנחנו מתחילים לאסוף פלוסים!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1: הבנת משמעות האינטגרל (שטח מכוון)
הביטוי \( \int_{0}^{t} f(x) \,dx \) מסמל צבירה של שטח תחת הגרף, החל מ- \( x=0 \) ועד לנקודה גמישה \( t \). - כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה-\(x\) (פונקציה שלילית), האינטגרל צובר ערך שלילי (התוצאה קטנה). - כאשר גרף הפונקציה נמצא מעל לציר ה-\(x\) (פונקציה חיובית), האינטגרל צובר ערך חיובי (התוצאה גדלה ומתקזזת עם מה שנצבר קודם).
שלב 2: שלב 2: בחינת התחומים השונים בגרף
נבחן מה קורה כשאנחנו מזיזים את \( t \) ימינה החל מ-0: התחום \( 0 < t \le 1 \): בתחום זה הפונקציה \( f(x) \) נמצאת כולה מתחת לציר ה-\(x\). ככל שנגדיל את \( t \) (עד שנגיע ל-1), האינטגרל יחשב עוד ועוד שטח שלילי. כלומר, ערך הביטוי ילך ויקטן. (למשל, מ-0 למינוס 3, למינוס 7...). התחום \( 1 < t < 2 \): ברגע שעברנו את \( t=1 \), הפונקציה עולה מעל לציר ה-\(x\). עכשיו אנחנו מתחילים לחשב ולהוסיף שטח חיובי. השטח החיובי הזה מתחבר לשטח השלילי שצברנו קודם ומקזז אותו. כתוצאה מכך, ערך הביטוי חוזר לגדול. (למשל, המינוס 7 שצברנו מקבל עכשיו תוספת של +2 חיוביים והופך למינוס 5).
שלב 3: שלב 3: מסקנה סופית והמחשה גיאומטרית
כיוון שאנו מחפשים את הערך הקטן ביותר האפשרי (הכי שלילי), עלינו לאסוף את כל 'השטח השלילי' ולעצור בדיוק ברגע שהשטח מפסיק להיות שלילי ומתחיל לקזז לנו (להיות חיובי). נקודה זו היא בדיוק הנקודה שבה הגרף חוצה את ציר ה-\(x\), שהיא \( t = 1 \). השטח האדום מייצג את 'סל' הערכים השליליים המקסימלי שניתן לאסוף. ולכן \( t=1 \) נותן את הערך הקטן ביותר.
