מתמטיקה · חשבון אינטגרלי

השאלה

נתונה הפונקציה $f(x)$. גרף הפונקציה $f(x)$ הוזז ב-2 יחידות כלפי מעלה, וכך התקבלה הפונקציה $g(x)$. לפניכם סקיצה של הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$ באותה מערכת צירים: חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$, על ידי ציר ה-$y$ ועל ידי הישר $x = 3$.

הטיפ של עובד

כשאומרים לכם שהזיזו פונקציה למעלה או למטה, בעצם נתנו לכם מתנה – את ההפרש הקבוע בין הפונקציות! לא צריך להיבהל מזה שאין לנו את המשוואה המלאה של $f(x)$. במקום להסתבך עם חישובים שאין לנו עליהם נתונים, תזכרו שהשטח הכלוא בין שתי הפונקציות הוא בעצם אוסף של "מלבנים דקיקים" שהגובה של כולם זהה לאורך כל הדרך (גובה ההזזה). לכן, כשנרשום את אינטגרל ההפרש, חלקי הפונקציות המסובכים פשוט יצטמצמו, ויישאר לנו חישוב קל ויפה ששקול לחישוב שטח של מלבן.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: הבנת המשמעות האלגברית של ההזזה האנכית

נתון כי הפונקציה $g(x)$ מתקבלת מהזזת הגרף של $f(x)$ ב-2 יחידות כלפי מעלה. המשמעות האלגברית של פעולה זו היא שעבור כל ערך של $x$, שיעור ה-$y$ של הפונקציה החדשה גדול בדיוק ב-2 משיעור ה-$y$ של הפונקציה המקורית. לכן נוכל לרשום את הקשר הבא בין הפונקציות: \[ g(x) = f(x) + 2 \]

מושגים: הזזה אנכית של פונקציה

שלב 2: שלב 2: בניית האינטגרל לחישוב השטח

השטח המבוקש מוגבל על ידי ארבעה "קירות": - מלמעלה: הפונקציה $g(x)$ - מלמטה: הפונקציה $f(x)$ - מימין: הישר $x = 3$ - משמאל: ציר ה-$y$, שמשוואתו היא $x = 0$ הנוסחה לחישוב שטח בין שתי פונקציות היא אינטגרל מסוים של הפרש הפונקציות (עליונה פחות תחתונה). נרשום את התבנית: \[ S = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx \]

מושגים: שטח בין שתי פונקציות

שלב 3: שלב 3: הצבה, צמצום וחישוב סופי

כעת, נציב את הקשר שמצאנו בשלב 1 לתוך האינטגרל: \[ S = \int_{0}^{3} ((f(x) + 2) - f(x)) \, dx \] נשים לב שהביטויים של $f(x)$ מבטלים זה את זה ($f(x) - f(x) = 0$). אנו נשארים עם אינטגרל פשוט על קבוע: \[ S = \int_{0}^{3} 2 \, dx \] נחשב את האינטגרל המסוים (הפונקציה הקדומה של הקבוע 2 היא $2x$): \[ S = [2x]_{0}^{3} \] נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון): \[ S = (2 \cdot 3) - (2 \cdot 0) = 6 - 0 = 6 \] השטח המבוקש הוא 6 יח"ר (יחידות ריבועיות). הערה גיאומטרית: התוצאה הזו הגיונית מאוד. כיוון שהמרחק האנכי בין הגרפים קבוע לכל אורך התחום (2 יחידות), השטח הכלוא ביניהם שווה בדיוק לשטח של מלבן בעל רוחב 3 (המרחק בין $x=0$ ל-$x=3$) וגובה 2. מלבן כזה שטחו הוא $3 \cdot 2 = 6$.

מושגים: שטח המבוסס על הפרש קבוע

תשובה סופית

התשובה הסופית: 6

חזרה לקטלוג

#179מתמטיקה

חשבון אינטגרלי

קראו את השאלה

שאלה

נתונה הפונקציה $f(x)$ . גרף הפונקציה $f(x)$ הוזז ב-2 יחידות כלפי מעלה, וכך התקבלה הפונקציה $g(x)$ . לפניכם סקיצה של הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ באותה מערכת צירים:

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ , על ידי ציר ה- $y$ ועל ידי הישר $x = 3$ .

עוד שאלות בחשבון אינטגרלי