חזרה לקטלוג
#186מתמטיקה
חשבון אינטגרליקראו את השאלה
שאלה
נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה . - נתון כי . - נתון פרמטר נוסף המקיים .
על סמך הנתונים והסרטוט, הוכיחו כי:
מתמטיקה · חשבון אינטגרלי
השאלה
נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \). - נתון כי \( f(k) = 1 \). - נתון פרמטר נוסף \( t \) המקיים \( k > t \). על סמך הנתונים והסרטוט, הוכיחו כי: \[ \int_{t}^{k} f(x) \,dx < k - t \]
הטיפ של עובד
כשמבקשים מכם להוכיח אי-שוויון עם אינטגרלים, הסוד הוא כמעט תמיד גאומטריה! אל תנסו לחפש פונקציה קדומה או לפתור אלגברית. זכרו שאינטגרל מייצג שטח כלוא. נסו להבין איזה שטח מייצג אגף שמאל (האינטגרל), ואיזה צורה הנדסית מוכרת (כמו מלבן) מייצג אגף ימין. לאחר מכן, השוו ביניהם ויזואלית על גבי הסרטוט.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1: מיקום הנקודות על מערכת הצירים
ננתח את הנתון \( f(k) = 1 \). המשמעות היא שיש נקודה על הפונקציה שה-y שלה הוא חיובי ושווה ל-1. לפי הסרטוט, הפונקציה חיובית רק בחלק שמשמאל לציר ה-y (ברביע השני). לכן נסמן את שיעור ה-\(x\) של נקודה זו כ-\(k\). כלומר מצאנו את הנקודה \( (k, 1) \). בנוסף, נתון לנו כי \( k > t \). אם \( t \) קטן מ-\(k\), משמעות הדבר היא ש-\(t\) נמצא משמאל ל-\(k\) על ציר ה-\(x\).
שלב 2: שלב 2: תרגום האינטגרל לשטח תחת גרף
נביט באגף שמאל של אי-השוויון שאנו נדרשים להוכיח: \( \int_{t}^{k} f(x) \,dx \). מבחינה גאומטרית, כיוון שהפונקציה חיובית בתחום זה, אינטגרל זה מייצג בדיוק את השטח הכלוא תחת גרף הפונקציה \( f(x) \), מעל ציר ה-\(x\), ובין הישרים האנכיים \( x=t \) ל- \( x=k \).
שלב 3: שלב 3: חילוץ שטח מלבן מאגף ימין
נביט באגף ימין של אי-השוויון: \( k - t \). כדי לתת לביטוי הזה משמעות הנדסית של שטח, נכפיל אותו ב-1 (הדבר אינו משנה את ערכו): \( (k - t) \cdot 1 \). - \( k - t \) מייצג נקודה ימנית פחות נקודה שמאלית, כלומר את המרחק על ציר ה-\(x\) בין \( t \) ל-\(k\). זה יהיה רוחב המלבן. - 1 מייצג את המרחק על ציר ה-\(y\) מציר ה-\(x\) ועד לנקודה בה הפונקציה שווה ל-1. זה יהיה גובה המלבן. כלומר, הביטוי \( k-t \) מייצג את שטחו של המלבן שבסיסו מ-\(t\) עד \(k\) וגובהו עד לישר \(y=1\).
שלב 4: שלב 4: סיכום ההוכחה (מ.ש.ל)
כעת, משווים את שני השטחים מתוך התבוננות בגרף (היעזרו בסרטוט תחת 'תשובות סופיות'): כיוון שהפונקציה עולה (ובנוסף קעורה כלפי מעלה) בתחום שבין \(t\) ל-\(k\), היא מתחילה מנקודה נמוכה מ-1 ומגיעה לגובה 1 רק בסוף התחום (בנקודה \(x=k\)). מכאן ברור כי לאורך כל התחום מ-\(t\) עד \(k\), עקומת הגרף נמצאת מתחת לצלע העליונה של המלבן (\(y=1\)). מסקנה: השטח מתחת לגרף הפונקציה חייב להיות קטן יותר משטחו הכולל של המלבן. מ.ש.ל: \( \int_{t}^{k} f(x) \,dx < k - t \)
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: ההוכחה מתבססת על חסימת השטח שמתחת לפונקציה בתוך מלבן ששטחו הוא בדיוק \( k-t \).