מתמטיקה · חשבון אינטגרלי

השאלה

לפניך סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$. מתוך סעיפי החקירה הקודמים של הפונקציה ידועים הנתונים הבאים: - לפונקציה יש נקודת קיצון (מינימום) בנקודה $(-2, 1)$. - הפונקציה עוברת בנקודה $(1, 1)$. - הפונקציה חותכת את ציר ה-$x$ בנקודות $x=2$ ו- $x=4$. - הישר $y=3$ הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה (משמאל). הערה: אין צורך ואין אפשרות למצוא את תבנית הפונקציה $f(x)$. הסתמך על הנתונים והגרף, והוכח כי מתקיים האי-שוויון הבא: \[ \int_{-2}^{1} f(x) \, dx > 3 \]

הטיפ של עובד

סעיפים שבהם מבקשים מאיתנו להעריך אינטגרל בלי שנותנים לנו את תבנית הפונקציה תמיד נראים מלחיצים בהתחלה. אבל הסוד כאן הוא חשיבה גיאומטרית! במקום לחפש נוסחאות, חפשו צורות שאתם מכירים. ברגע שיש לנו שתי נקודות על הגרף עם אותו שיעור $y$ (כמו כאן, ב-$y=1$), כמעט תמיד מסתתר שם מלבן שיעזור לנו. תעבירו קו אופקי דמיוני המחבר ביניהן, תחשבו את שטח המלבן שנוצר עם ציר ה-$x$, ותשוו אותו ויזואלית לשטח הכולל שמתחת לגרף הפונקציה.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: הבנת המשמעות הגיאומטרית של האינטגרל המבוקש

מבקשים מאיתנו להוכיח טענה לגבי הערך של: \[ \int_{-2}^{1} f(x) \, dx \] מתוך התבוננות בגרף, ניתן לראות כי בתחום שבין $x = -2$ לבין $x = 1$, הפונקציה $f(x)$ נמצאת כולה מעל ציר ה-$x$ (היא חיובית). לכן, ערכו של אינטגרל מסוים זה מייצג בדיוק את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$, ציר ה-$x$, והישרים האנכיים $x = -2$ ו- $x = 1$.

שלב 2: שלב 2: זיהוי צורת עזר מוכרת (בניית מלבן)

מכיוון שאין לנו את משוואת הפונקציה, איננו יכולים לחשב את השטח במדויק. עלינו למצוא דרך להעריך אותו. נשים לב לשתי נקודות קריטיות שניתנו לנו בקצות התחום: - הנקודה השמאלית: $(-2, 1)$ - הנקודה הימנית: $(1, 1)$ לשתי הנקודות הללו יש בדיוק את אותו שיעור $y$ (גובה 1). אם נעביר קו אופקי ($y=1$) המחבר ביניהן, ניצור מלבן הכלוא בין קו זה, ציר ה-$x$, והישרים $x=-2$ ו-$x=1$.

שלב 3: שלב 3: חישוב שטח המלבן והסקת המסקנה (כולל המחשה גרפית)

נחשב את מידות המלבן שיצרנו: - רוחב המלבן: המרחק האופקי בין $x=1$ ל- $x=-2$ הוא: $ 1 - (-2) = 3 $ יחידות. - גובה המלבן: המרחק האנכי מציר ה-$x$ (שם $y=0$) עד לקו $y=1$ הוא: $ 1 - 0 = 1 $ יחידה. שטח המלבן הוא: $ S_{rectangle} = 3 \cdot 1 = 3 $ כעת, נתבונן שוב בגרף. הפונקציה $f(x)$ מתחילה בגובה 1, עולה לפסגה סביב ציר ה-$y$, ואז יורדת חזרה לגובה 1. מכאן נובע שהשטח המבוקש (האינטגרל) מורכב משני חלקים: 1. שטח המלבן הבסיסי (שערכו בדיוק 3). 2. השטח העודף הכלוא בין קו המלבן העליון ($y=1$) לבין גבעת הפונקציה. כיוון ששטח זה קיים וחיובי ממש, הוא מוסיף לערך הכולל. מכיוון ששטח המלבן החסום מלמטה הוא בדיוק 3, והשטח הכלוא מתחת לפונקציה כולל את המלבן ועוד תוספת חיובית, אנו מסיקים בוודאות כי השטח הכולל גדול מ-3. מ.ש.ל.

מושגים: הערכת ערך אינטגרל ללא תבנית, קשר בין אינטגרל מסוים לשטח, חסימת שטח על ידי מצולעים

תשובה סופית

התשובה הסופית: הוכח. (ההוכחה מסתמכת על כך ששטח המלבן שמתחת לפונקציה בתחום הנתון שווה בדיוק ל-3, וגרף הפונקציה נמצא בחלקו מעל מלבן זה).

חזרה לקטלוג

#180מתמטיקה

חשבון אינטגרלי

קראו את השאלה

שאלה

לפניך סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$ . מתוך סעיפי החקירה הקודמים של הפונקציה ידועים הנתונים הבאים: - לפונקציה יש נקודת קיצון (מינימום) בנקודה $(-2, 1)$ . - הפונקציה עוברת בנקודה $(1, 1)$ . - הפונקציה חותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $x=2$ ו- $x=4$ . - הישר $y=3$ הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה (משמאל). הערה: אין צורך ואין אפשרות למצוא את תבנית הפונקציה $f(x)$ .

הסתמך על הנתונים והגרף, והוכח כי מתקיים האי-שוויון הבא: $\int_{-2}^{1} f(x) \, dx > 3$

עוד שאלות בחשבון אינטגרלי