מתמטיקה · חשבון אינטגרלי

שלב 1: שלב 1: מציאת הנקודה שבה \( g(x) \) מקסימלית

כדי להוכיח שהפונקציה \( g(x) \) תמיד קטנה מ-1 בתחום הנתון, מספיק לנו למצוא את הערך הכי גדול שהיא יכולה לקבל בתחום הזה, ולהראות שאפילו הערך הזה קטן מ-1. נשאל את עצמנו: מתי האינטגרל אוסף הכי הרבה שטח? כיוון שהאינטגרל מתחיל לחשב משמאל לימין החל מ-\( x=0.3 \), הוא מוסיף ערכים חיוביים כל עוד גרף הפונקציה \( f(x) \) נמצא מעל ציר ה-\(x\). מהסרטוט רואים בבירור שהפונקציה חיובית עד לנקודה \( x=1 \). מסקנה: הערך הגדול ביותר של \( g(x) \) מתקבל בדיוק בנקודה \( x=1 \).

שלב 2: שלב 2: חסימת הערך המקסימלי באמצעות מלבן

כעת, נוכיח שהערך המקסימלי, \( g(1) = \int_{0.3}^{1} f(t) \,dt \), קטן מ-1. נשלים מלבן דמיוני על גבי הגרף (היעזרו בסרטוט הוויזואליזציה למעלה): - בסיס המלבן: נמתח על ציר ה-\(x\) מ-\( x=0 \) ועד \( x=1 \). אורך הבסיס הוא 1. - גובה המלבן: נמתח מציר ה-\(x\) ועד לנקודה הגבוהה ביותר של הפונקציה בקטע זה (ב- \( x=0 \)), שערכה הוא \( y=1 \). גובה המלבן הוא 1. שטחו של המלבן כולו הוא: \( 1 \times 1 = 1 \). השטח שאנו מחשבים באינטגרל (מ-\(0.3\) עד \(1\)) נמצא כולו בתוך המלבן הזה. למעשה, הוא תופס רק חלק ממנו, כי הוא מתחיל רק מ-\(0.3\) (ולא מ-0), וכי העקומה עצמה יורדת מתחת לצלע העליונה של המלבן. \( \Rightarrow g(1) < 1 \)

מושגים: חסימת אינטגרל

שלב 3: שלב 3: התנהגות הפונקציה לאחר המקסימום

מה קורה עבור כל שאר ערכי \(x\) בתחום, כלומר מתי ש- \( 1 < x < 3 \)? החל מ-\( x=1 \) וימינה, הפונקציה \( f(x) \) צוללת מתחת לציר ה-\(x\), כלומר מקבלת ערכים שליליים. אם נמשיך לחשב את האינטגרל עבור \(x\) גדול מ-1, משמעות הדבר היא שאנו מתחילים להחסיר ("לקזז") שטח שלילי מתוך מה שכבר צברנו. לכן, ערך האינטגרל הכולל יילך ויקטן. הראינו שהערך המקסימלי האפשרי הוא \( g(1) \). הוכחנו ש- \( g(1) < 1 \). כל התקדמות נוספת רק מקטינה את הערך עוד יותר. לכן, לכל \( 0.3 \le x < 3 \) מתקיים: \( g(x) \le g(1) < 1 \). (מ.ש.ל)