נתון הגרף של הפונקציה $f(x) = x^3$. ברצוננו לסרטט סקיצה מהירה של הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x^3}$. כיצד ייראה הגרף שלה ומהם השיקולים המנחים אותנו בשרטוט, ללא צורך בחקירה מלאה דרך נגזרות?
אנחנו רוצים לסרטט את הפונקציה ההופכית $\frac{1}{f(x)}$ "יחסית מהר, בלי יותר מדי ניתוחים". יש פה חוקים סופר-ברורים שעושים את החיים קלים: 1. תחום הגדרה = אסימפטוטות: איפה שהפונקציה המקורית שווה לאפס ($x=0$), הפונקציה החדשה נתקעת כי אסור לחלק באפס! שם תיווצר לנו אסימפטוטה אנכית. 2. סימנים נשארים סימנים: איפה שהפונקציה המקורית חיובית, גם "אחד חלקי" נשאר חיובי. איפה שהיא שלילית – נשאר שלילי. 3. הפוך על הפוך במגמה: זה כלל הברזל! בתחום שזו עולה - זו יורדת, ובתחום שזו יורדת - זו עולה. במקרה שלנו, הפונקציה $x^3$ עולה כל הזמן. לכן הפונקציה $\frac{1}{x^3}$ הולכת פשוט לרדת לאורך כל תחומי ההגדרה שלה!
הפונקציה המקורית היא $f(x) = x^3$, והיא חותכת את ציר ה-$x$ בנקודה שבה $x = 0$. עבור הפונקציה החדשה $g(x) = \frac{1}{x^3}$, אי אפשר להציב $x = 0$ מכיוון שהוא מאפס את המכנה. לכן, תחום ההגדרה הוא $x \neq 0$, ויש לנו אסימפטוטה אנכית ב-$x = 0$ (ציר ה-$y$). בנוסף, ככל ש-$x$ שואף לאינסוף (חיובי או שלילי), המכנה $x^3$ הופך למספר עצום. 1 חלקי מספר עצום שואף לאפס, ולכן יש לנו אסימפטוטה אופקית ב-$y = 0$ (ציר ה-$x$).
מושגים: מאפסים הופכים לאסימפטוטות
כאשר $f(x) > 0$ (ברביע הראשון, $x > 0$), ברור שגם $\frac{1}{f(x)} > 0$. כלומר, הגרף יישאר מעל ציר ה-$x$. כאשר $f(x) < 0$ (ברביע השלישי, $x < 0$), אחד חלקי מספר שלילי עדיין נותן מספר שלילי. כלומר, הגרף יישאר מתחת לציר ה-$x$.
מושגים: שמירת סימן
זהו החלק הקריטי ביותר לשרטוט מהיר: כשהמכנה גדל, השבר קטן, ולהפך. הפונקציה $f(x) = x^3$ היא פונקציה עולה לכל $x$. לכן, הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x^3}$ חייבת להיות יורדת בכל תחום הגדרתה! - מימין לציר ה-y ($x > 0$): הפונקציה יורדת מאינסוף (אסימפטוטה אנכית) ומתקרבת לאפס (אסימפטוטה אופקית). - משמאל לציר ה-y ($x < 0$): הפונקציה שלילית ויורדת. כלומר, היא מתחילה קרוב לאפס (אסימפטוטה אופקית משמאל) ו"צוללת" למטה אל מינוס אינסוף (אסימפטוטה אנכית).
מושגים: קשר בין פונקציה להופכית שלה (עולה/יורדת)
אם נשלב את כל המסקנות: אסימפטוטות בצירים, יורדת תמיד, ושומרת על הסימנים – נקבל את הסרטוט הבא: הגרף הכחול מציג את $\frac{1}{x^3}$. שימו לב כיצד הוא יורד תמיד (משמאל לימין), לעומת הגרף המקווקו שעולה תמיד.
התשובה הסופית: עקרונות השרטוט המהיר: - אסימפטוטה אנכית ב-$x = 0$ ואסימפטוטה אופקית ב-$y = 0$. - הפונקציה חיובית ויורדת בתחום $x > 0$. - הפונקציה שלילית ויורדת בתחום $x < 0$.
נתון הגרף של הפונקציה f(x)=x3. ברצוננו לסרטט סקיצה מהירה של הפונקציה g(x)=x31. כיצד ייראה הגרף שלה ומהם השיקולים המנחים אותנו בשרטוט, ללא צורך בחקירה מלאה דרך נגזרות?
