בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה \( f(x) = \frac{x-2}{x^2-4x+5} \). חקרתם את הפונקציה בסעיפים הקודמים, מצאתם נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-\( x \) בנקודה \( x = 2 \). המשימה: סרטטו סקיצה של הפונקציה החדשה \( g(x) = \sqrt{f(x)} \).
חברים, כשמבקשים מכם לסרטט שורש של פונקציה, יש שני חוקים שסוגרים לכם את כל הפינה, בלי לחשב כמעט כלום! 1. "גליוטינה" מתחת לציר ה-x: שורש שונא מינוסים! אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי. לכן, הדבר הראשון שאתם עושים זה לוקחים מחק (או מעבירים איקס ענק) על כל החלק של הגרף שנמצא מתחת לציר ה-x. זה פשוט מתאדה, לא קיים בתחום ההגדרה. 2. המבנה נשאר אותו מבנה: מה שנשאר מעל ציר ה-x, שומר על הצורה הכללית שלו. "גבעה" נשארת גבעה, עליה נשארת עליה, ירידה נשארת ירידה. זה אולי קצת "נמעך" או "נמתח", אבל ברמת הסקיצה – פשוט תעתיקו את אותה צורה בדיוק, שמתחילה מנקודת החיתוך (איפה שהפונקציה הייתה אפס, כי \(\sqrt{0} = 0\)).
הפונקציה החדשה מוגדרת כ-\( g(x) = \sqrt{f(x)} \). הביטוי בתוך השורש הריבועי חייב להיות חיובי או שווה לאפס. לכן נדרוש: \( f(x) \ge 0 \) איך נדע מתי \( f(x) \ge 0 \)? פשוט נסתכל על הגרף הנתון! הפונקציה המקורית נמצאת מעל או על ציר ה-\( x \) אך ורק מימין לנקודת החיתוך \( x = 2 \). מכאן, תחום ההגדרה של \( g(x) \) הוא \( x \ge 2 \). כל מה שמשמאל ל-2 (שם הפונקציה שלילית ויש לה מינימום) – נמחק לחלוטין ולא נכנס לגרף החדש.
מושגים: תחום הגדרה גרפי
בנקודה \( x = 2 \), נתון לנו ש- \( f(2) = 0 \). נציב זאת בפונקציה החדשה כדי לראות מה קורה בה: \( g(2) = \sqrt{f(2)} = \sqrt{0} = 0 \) המשמעות היא שהגרף של פונקציית השורש מתחיל בדיוק באותה נקודה שבה הפונקציה המקורית חתכה את ציר ה-\( x \).
פעולת הוצאת שורש ריבועי שומרת על מגמת הפונקציה עבור ערכים חיוביים (זוהי פונקציה עולה אבסולוטית). במילים פשוטות: - כאשר \( f(x) \) עולה (ערכי ה-y שלה גדלים) – גם \( \sqrt{f(x)} \) עולה. - כאשר \( f(x) \) יורדת (ערכי ה-y קטנים) – גם \( \sqrt{f(x)} \) יורדת. מימין ל-\( x=2 \), הפונקציה המקורית עולה עד לנקודת מקסימום, ולאחר מכן יורדת חזרה ושואפת לאסימפטוטה האופקית \( y=0 \). לכן, גם הפונקציה \( g(x) \) תתחיל ב-\( (2,0) \), תעלה למקסימום (באותו שיעור \( x \) כמו המקורית!), ותרד לכיוון אותה אסימפטוטה.
מושגים: טרנספורמציות מונוטוניות
כך ייראה הגרף החדש, לעומת הגרף הישן (בצבע אפור חלש להמחשה): שימו לב: משמאל ל-2 לא סורטט כלום, והצורה מימין ל-2 שומרת על מבנה ה"גבעה". (הגובה המדויק תלוי בערכים ספציפיים, אך המבנה זהה).
התשובה הסופית: תחום ההגדרה משתנה: הגרף החדש קיים אך ורק עבור \( x \ge 2 \) (שם \( f(x) \ge 0 \)). נקודת ההתחלה: הגרף מתחיל בדיוק בנקודה \( (2,0) \). הצורה הכללית: מימין ל-\( x=2 \), הגרף של \( \sqrt{f(x)} \) מקבל את אותה "צורה של גבעה" (עלייה למקסימום ואז ירידה לאסימפטוטה \( y=0 \)).
בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה f(x)=x2−4x+5x−2. חקרתם את הפונקציה בסעיפים הקודמים, מצאתם נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x בנקודה x=2. המשימה: סרטטו סקיצה של הפונקציה החדשה g(x)=f(x).
