חדו"א · חקירת מראה פונקציה
השאלה
בסרטוט שלפניכם נתון גרף הפונקציה $f(x)$. על הגרף מצוינות נקודות חיתוך וקיצון: הפונקציה חותכת את ראשית הצירים בנקודה $(0, 0)$. לפונקציה יש נקודת מקסימום ב- $(1, 64)$. לפונקציה יש נקודת מינימום ב- $(3, 0)$ אשר משיקה לציר ה-$x$. מוגדרת פונקציה חדשה: $g(x) = |f(x)|$. המשימה: סרטט את גרף הפונקציה $g(x)$, ציין את שיעורי נקודות הקיצון שלה וקבע את סוגן.
הטיפ של עובד
ערך מוחלט הוא פשוט אלגוריתם, או "מכונת שיקוף". הוא מקבל פונקציה ושואל: האם אתה חיובי? אם כן - תישאר בדיוק אותו הדבר. האם אתה שלילי? אם כן - אני אהפוך אותך לחיובי!
המשמעות הגרפית היא קלה מאוד ליישום: כל מה שמעל ציר ה-$x$ נשאר ללא שינוי, וכל מה שמתחת לציר ה-$x$ מקבל "בעיטה" ומשתקף כלפי מעלה.
זה מייצר לנו נקודות "שפיץ" מיוחדות בנקודות שבהן הפונקציה חתכה את ציר ה-$x$, שהופכות באופן מיידי לנקודות מינימום מוחלט שערכן אפס. אתם לא צריכים לגזור מחדש, רק להפעיל את הכלל!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הבנת הפעולה של ערך מוחלט על גרף
מוגדרת הפונקציה $g(x) = |f(x)|$. על פי הגדרת הערך המוחלט: $$ g(x) = \begin{cases} f(x), & \text{if } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{if } f(x) < 0 \end{cases} $$ כלומר, בתחומים שבהם $f(x)$ חיובית (מעל ציר ה-$x$), גרף הפונקציה $g(x)$ מתלכד לחלוטין עם גרף הפונקציה $f(x)$. בתחומים שבהם $f(x)$ שלילית (מתחת לציר ה-$x$), גרף הפונקציה $g(x)$ הוא שיקוף של גרף הפונקציה $f(x)$ ביחס לציר ה-$x$.
מושגים: טרנספורמציה של ערך מוחלט
שלב 2: ניתוח תחומי הגרף הנתון
נביט על הגרף המקורי $f(x)$ המורכב משני חלקים עיקריים ביחס לציר ה-$x$: - עבור $x \ge 0$: הגרף נמצא כולו מעל או על ציר ה-$x$ (חותך באפס, עולה ל-64, יורד ומשיק ב-0, ועולה שוב). באזור זה הפונקציה חיובית ולכן $g(x)$ תישאר זהה לחלוטין ל-$f(x)$. נקודות הקיצון $(1, 64)$ ו-$(3, 0)$ נשמרות ללא שינוי. - עבור $x < 0$: הגרף נמצא מתחת לציר ה-$x$. באזור זה הפונקציה שלילית. לכן, כל ענף הגרף הזה "יקופל" וישתקף כלפי מעלה. אם קודם הפונקציה הייתה בעלייה אל האפס, כעת היא תהיה בירידה אל עבר האפס (כמו צורת V).
מושגים: שמירה על נקודות עוגן
שלב 3: סרטוט הגרף וזיהוי נקודות הקיצון החדשות
לאחר השיקוף של החלק השמאלי נוצרת בראשית הצירים $(0, 0)$ נקודת "שבירה" שבה הפונקציה יורדת אל האפס ומיד עולה. לכן, נקודה זו הופכת להיות נקודת מינימום. סיכום נקודות הקיצון של $g(x)$: - $(0, 0)$: מינימום. משמאל הנקודה הפונקציה במגמת ירידה (עקב השיקוף), ומימין היא בעלייה. - $(1, 64)$: מקסימום. לא השתנה מהפונקציה המקורית שכן ממוקם מעל ציר ה-x. - $(3, 0)$: מינימום. לא השתנה מהפונקציה המקורית מכיוון שהשיק רק לציר, כלומר לא היה חלק שלילי להפוך.
מושגים: נקודות אי-גזירות ("שפיץ")
תשובה סופית
התשובה הסופית: נקודת מינימום מוחלט ב- $(0, 0)$ נקודת מקסימום ב- $(1, 64)$ נקודת מינימום מוחלט ב- $(3, 0)$
