בסרטוט נתון גרף הפונקציה \( f(x) \). נתוני נקודות הקיצון והחיתוך מופיעים על הגרף. מוגדרת פונקציה חדשה: \( g(x) = \frac{1}{f(x-3)} \). מצא עבור \( g(x) \): 1) תחום הגדרה. 2) חיתוך עם הצירים (אם יש). 3) תחומי עלייה וירידה. 4) סרטוט סקיצה של \( g(x) \).
יש כאן שאלת בגרות נהדרת שמשלבת שתי טרנספורמציות במכה אחת: גם הזזה (\( x-3 \)) וגם פונקציה הופכית ("אחד חלקי"). הסוד הגדול הוא: אל תנסו לעשות הכל בבת אחת בראש! תעבדו שלב-שלב ("פרה פרה"): 1. קודם כל, ניקח את כל נקודות המפתח של \( f(x) \) ופשוט נוסיף 3 ל-x שלהן (כי \( f(x-3) \) זו הזזה של 3 יחידות ימינה). ככה נקבל פונקציית ביניים, נקרא לה נניח \( h(x) \). 2. רק אחרי שרשמנו בצד את התכונות של \( h(x) \), נפעיל עליה את הכללים המוכרים של "אחד חלקי": כל מאפס הופך לאסימפטוטה אנכית, מקסימום מתהפך למינימום (ולהפך), ותחומי עלייה/ירידה משנים כיוון. סדר וארגון יצילו אתכם מטעויות ויקצרו לכם את העבודה!
מתוך התבוננות בגרף הנתון, נרשום את תכונות המפתח של \( f(x) \): - נקודות אפס (חיתוך/השקה עם ציר x): ב-\( x = -3 \) (השקה) וב-\( x = 2 \) (חיתוך). - נקודות קיצון: מינימום ב-\( (-3, 0) \), מקסימום ב-\( (256, 1) \). - תחומי עלייה: \( -3 < x < 256 \). - תחומי ירידה: \( x < -3 \) או \( x > 256 \).
הביטוי \( f(x-3) \) אומר שלקחנו את הפונקציה המקורית והזזנו אותה 3 יחידות ימינה. לכן, נוסיף 3 לכל שיעורי ה-\( x \) שמצאנו בשלב הקודם (שיעורי ה-\( y \) נשארים ללא שינוי): - נקודות אפס: \( x = 0 \) ו-\( x = 5 \). - נקודות קיצון: מינימום ב-\( (0, 0) \), מקסימום ב-\( (259, 1) \). - תחומי עלייה: \( 0 < x < 259 \). - תחומי ירידה: \( x < 0 \) או \( x > 259 \). נשים לב גם לסימני הפונקציה \( f(x-3) \): היא חיובית כאשר \( x < 5 \) (למעט \( x=0 \)), והיא שלילית כאשר \( x > 5 \).
מושגים: הזזות אופקיות של פונקציות
כעת ניקח את התכונות של הפונקציה המוזזת ונפעיל עליהן את חוקי ה"אחד חלקי": 1. תחום הגדרה ואסימפטוטות: אסור לחלק באפס. מאחר ש-\( f(x-3) = 0 \) ב-\( x=0 \) וב-\( x=5 \), אלו הן האסימפטוטות האנכיות. תחום ההגדרה הוא \( x \neq 0 \) ו-\( x \neq 5 \). בנוסף, מאחר שהפונקציה המקורית שואפת לאינסוף/מינוס אינסוף בקצוות, \( g(x) \) תשאף לאפס, ולכן יש אסימפטוטה אופקית \( y = 0 \). 2. חיתוך עם הצירים: המונה לעולם אינו מתאפס (תמיד 1), לכן אין חיתוך עם ציר \( x \). בנוסף, \( x=0 \) מחוץ לתחום ההגדרה, לכן אין חיתוך עם ציר \( y \). 3. נקודות קיצון: המקסימום של הפונקציה המוזזת שהיה ב-\( (259, 1) \) הופך למינימום בגרף של \( g(x) \) בנקודה \( (259, 1) \). 4. תחומי עלייה וירידה (מתהפכים): - המוזזת ירדה עבור \( x < 0 \implies g(x) \) עולה עבור \( x < 0 \). - המוזזת עלתה עבור \( 0 < x < 259 \implies g(x) \) יורדת עבור \( 0 < x < 259 \). (יש לפצל בגלל האסימפטוטה ב-\( x=5 \): יורדת ב-\( 0 < x < 5 \) ויורדת ב-\( 5 < x < 259 \)). - המוזזת ירדה עבור \( x > 259 \implies g(x) \) עולה עבור \( x > 259 \).
מושגים: פונקציה רציפרוקלית ("אחד חלקי"), טכניקת העבודה בשלבים
נשלב את כל המידע לגרף אחד: הגרף מדגים את השפעת האסימפטוטות האנכיות ב-\(x=0\) וב-\(x=5\), ואת הפיכת המקסימום ה"גבוה" למינימום ה"שטוח" קרוב מאוד לציר ה-x.
התשובה הסופית: 1. תחום הגדרה: \( x \neq 0 \) וגם \( x \neq 5 \) 2. חיתוך עם הצירים: אין חיתוך עם אף ציר. 3. תחומי עלייה וירידה: עליה: \( x < 0 \) , \( x > 259 \). ירידה: \( 0 < x < 5 \) , \( 5 < x < 259 \). 4. נקודת קיצון (בונוס להבנה): מינימום ב- \( (259, 1) \).
בסרטוט נתון גרף הפונקציה f(x). נתוני נקודות הקיצון והחיתוך מופיעים על הגרף. מוגדרת פונקציה חדשה: g(x)=f(x−3)1. מצא עבור g(x): 1) תחום הגדרה. 2) חיתוך עם הצירים (אם יש). 3) תחומי עלייה וירידה. 4) סרטוט סקיצה של g(x).
