מתמטיקה · חשבון אינטגרלי

השאלה

נתונים: נתונות שתי פונקציות, $ f(x) $ ו- $ h(x) $, הנחתכות בנקודה שבה $ x = a $. שתי הפונקציות נמצאות מתחת לציר ה-$x$ בתחום $ x > a $. - לפונקציה $ f(x) $ יש אסימפטוטה אופקית $ y = 0 $ (ציר ה-$x$). - לפונקציה $ h(x) $ יש אסימפטוטה אופקית $ y = -1 $. לפניכם שלושה ביטויים: $ \int_{a}^{a+1} (f(x) - h(x)) \,dx $ $ \int_{a+1}^{a+2} (f(x) - h(x)) \,dx $ המספר 1 סדרו את שלושת הביטויים מהגדול לקטן. נמקו את תשובתכם ללא חישוב.

הטיפ של עובד

כשמבקשים מכם להעריך אינטגרלים ללא נתונים מספריים מדויקים, התשובה נמצאת בסרטוט! אינטגרל של פונקציה עליונה פחות תחתונה שווה לשטח שביניהן. כדי להשוות בין שני שטחים: בידקו האם הפונקציות מתקרבות או מתרחקות זו מזו לאורך ציר ה-x. כדי להשוות למספר קבוע (כמו 1): נסו לחסום את השטח הכלוא בתוך צורה הנדסית פשוטה (כמו מלבן) שאת מידותיה אתם יודעים לחשב על סמך האסימפטוטות.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: השוואה בין שני האינטגרלים (התרחקות הפונקציות)

שני האינטגרלים מחשבים את השטח הכלוא בין הפונקציות $ f(x) $ (העליונה) ל- $ h(x) $ (התחתונה). נשים לב לרוחב הקטעים: שניהם בעלי רוחב של 1 יחידה (הראשון מ-$a$ עד $a+1$, והשני מ-$a+1$ עד $a+2$). ככל שאנו מתקדמים ימינה על ציר ה-$x$, הפונקציות שואפות לאסימפטוטות שונות: - $ f(x) $ עולה ומתקרבת ל- $ y=0 $. - $ h(x) $ יורדת ומתקרבת ל- $ y=-1 $. מסקנה: הפונקציות מתרחקות זו מזו, ולכן הפער האנכי ביניהן גדל. ככל שהפער גדול יותר, השטח הכלוא על אותו רוחב יהיה גדול יותר. \[ \int_{a+1}^{a+2} (f(x) - h(x)) \,dx > \int_{a}^{a+1} (f(x) - h(x)) \,dx \]

מושגים: השוואת שטחים

שלב 2: שלב 2: השוואה למספר 1 (שיטת המלבן החוסם)

כעת עלינו להשוות את השטחים למספר 1. נבנה מלבן חוסם סביב אזור השטח: - רוחב המלבן: יחידה אחת (למשל על ציר ה-x, מהנקודה $a+1$ ועד $a+2$). - גובה המלבן: נתחום אותו בין שתי האסימפטוטות $ y=0 $ ו- $ y=-1 $. לכן הגובה הוא בדיוק 1. שטחו של מלבן זה הוא $ 1 \times 1 = 1 $. מכיוון שהפונקציות רק מתקרבות לאסימפטוטות אך אינן חוצות אותן (או לפחות מוגבלות על ידן), השטח הכלוא ביניהן נמצא במלואו בתוך המלבן ואינו ממלא אותו לחלוטין. לכן, השטח החסום קטן בהכרח משטח המלבן, כלומר קטן מ-1.

מושגים: מלבן חוסם, אסימפטוטות

שלב 3: שלב 3: סיכום וויזואליזציה

תשובה סופית

התשובה הסופית: $ 1 > \int_{a+1}^{a+2} (f(x) - h(x)) \,dx > \int_{a}^{a+1} (f(x) - h(x)) \,dx $

חזרה לקטלוג

#204מתמטיקה

חשבון אינטגרלי

קראו את השאלה

שאלה

נתונים: נתונות שתי פונקציות, $f(x)$ ו- $h(x)$ , הנחתכות בנקודה שבה $x = a$ . שתי הפונקציות נמצאות מתחת לציר ה- $x$ בתחום $x > a$ . - לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y = 0$ (ציר ה- $x$ ). - לפונקציה $h(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y = -1$ .

לפניכם שלושה ביטויים: $\int_{a}^{a+1} (f(x) - h(x)) \,dx$ $\int_{a+1}^{a+2} (f(x) - h(x)) \,dx$ המספר 1 סדרו את שלושת הביטויים מהגדול לקטן. נמקו את תשובתכם ללא חישוב.

עוד שאלות בחשבון אינטגרלי