מתמטיקה · חשבון אינטגרלי

שלב 1: שלב 1: מיפוי סימני הפונקציות בתחום הרלוונטי

אנו מתמקדים בתחום שבין \( x = -3 \) לבין \( x = 0 \) (משמאל לראשית הצירים, ברביעים השני והשלישי). בואו נגדיר שני שטחים מתוך הסרטוט: - \( f(x) \): נמצאת מעל ציר ה-\(x\). אם נחשב את האינטגרל שלה לבד, נקבל ערך של שטח חיובי. נסמן שטח זה באות X. כלומר: \( \int_{-3}^{0} f(x) \,dx = X \). - \( f'(x) \): נמצאת מתחת לציר ה-\(x\). אם נחשב את האינטגרל שלה לבד, הוא יחזיר גודל של שטח אבל בסימן שלילי. אם נסמן את גודל השטח האבסולוטי (החיובי) באות Y, הרי שהאינטגרל עצמו שווה ל-\( -Y \). כלומר: \( \int_{-3}^{0} f'(x) \,dx = -Y \).

שלב 2: שלב 2: ניתוח ביטוי א' (הפרש)

נבחן את הביטוי הראשון: \[ \int_{-3}^{0} \left( f(x) - f'(x) \right) \,dx \] ניתן להפריד את האינטגרל לשניים: \[ = \int_{-3}^{0} f(x) \,dx - \int_{-3}^{0} f'(x) \,dx \] נציב את הערכים שהגדרנו בשלב 1: \[ = X - (-Y) = X + Y \] משמעות גיאומטרית: זוהי תבנית של פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה, שמחשבת את סך כל השטח הכלוא בין שני הגרפים כגודל חיובי מצטבר (בדוגמה מהשיעור: \( 10 - (-8) = 18 \)).

מושגים: שטח מכוון

שלב 3: שלב 3: ניתוח ביטוי ב' (סכום) ומסקנה סופית

נבחן את הביטוי השני: \[ \int_{-3}^{0} \left( f(x) + f'(x) \right) \,dx \] שוב, נפריד לשני אינטגרלים: \[ = \int_{-3}^{0} f(x) \,dx + \int_{-3}^{0} f'(x) \,dx \] נציב את הערכים משלב 1: \[ = X + (-Y) = X - Y \] הסבר: כאן אנחנו פשוט מחברים אינטגרלים. מכיוון שהגרף של הנגזרת מתחת לציר, הוא תורם ערך שלילי המקזז מהשטח החיובי של הפונקציה (בדוגמה מהשיעור: \( 10 + (-8) = 2 \)). כיוון ש- X ו- Y מייצגים גדלים חיוביים של שטח, ברור ש- X + Y תמיד גדול יותר מאשר X - Y. לכן, ביטוי א' גדול יותר מביטוי ב'.

מושגים: השוואת שטחים