גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

שלב 1: מציאת קודקוד B

נתון כי משוואת הצלע \( AB \) היא \( y = 2x - 4 \) ושיעור ה-\( x \) של קודקוד \( B \) הוא 1. מכיוון שקודקוד \( B \) מונח על הישר \( AB \), נציב בו \( x = 1 \) כדי למצוא את שיעור ה-\( y \) שלו: \[ y = 2(1) - 4 = -2 \] לכן, שיעורי הקודקוד הם: \( B(1, -2) \).

שלב 2: הבעת קודקודים A ו-C באמצעות נעלם

נתון שהצלע \( BC \) מקבילה לציר ה-\( x \) (היא ישר אופקי). לכן, שיעור ה-\( y \) של קודקוד \( C \) זהה לשיעור ה-\( y \) של B, כלומר \( y = -2 \). קודקוד \( A \) מונח גם הוא על הישר \( AB \). נסמן את שיעור ה-\( x \) שלו בנעלם (למשל \( x_A \)). שיעור ה-\( y \) שלו יהיה: \( 2x_A - 4 \). כלומר: \( A(x_A, 2x_A - 4) \). נתון ששיעור ה-\( x \) של קודקוד \( A \) קטן ב-3 משיעור ה-\( x \) של קודקוד \( C \). במילים אחרות, שיעור ה-\( x \) של \( C \) גדול ב-3 מזה של \( A \): \[ x_C = x_A + 3 \] נאחד זאת עם שיעור ה-\( y \) שמצאנו קודם (-2), ונקבל את C: \( C(x_A + 3, -2) \).

מושגים: ישרים מקבילים לצירים

שלב 3: הבעת שטח המשולש ובניית משוואה

כדי להשתמש בנתון שטח המשולש (10), נגדיר את הבסיס והגובה: אורך הבסיס \( BC \): כיוון שזה קטע אופקי, אורכו הוא פשוט ההפרש בין שיעורי ה-\( x \) של הקודקודים \( C \) ו-\( B \): \[ BC = x_C - x_B = (x_A + 3) - 1 = x_A + 2 \] אורך הגובה לבסיס \( BC \): הגובה (נסמנו \( h \)) יורד מקודקוד \( A \) אל הישר \( BC \). כיוון שהישר אופקי, אורך הגובה הוא ההפרש האנכי: שיעור ה-\( y \) של \( A \) פחות שיעור ה-\( y \) של \( BC \) (שהוא -2): \[ h = y_A - (-2) = (2x_A - 4) + 2 = 2x_A - 2 \] נציב בנוסחת שטח משולש: השטח שווה לבסיס כפול גובה, חלקי 2. \[ 10 = \frac{(x_A + 2) \cdot (2x_A - 2)}{2} \] אפשר להוציא גורם משותף 2 מהסוגריים השניים כדי לצמצם עם המכנה: \[ 10 = \frac{(x_A + 2) \cdot 2(x_A - 1)}{2} \] ה-2 במונה ובמכנה מצטמצם, ונשאר: \( 10 = (x_A + 2)(x_A - 1) \)

מושגים: חישוב אורכים במערכת צירים

שלב 4: פתרון המשוואה הריבועית ומציאת A ו-C

נפתח סוגריים למשוואה שקיבלנו: \[ 10 = x_A^2 - x_A + 2x_A - 2 \] \[ 10 = x_A^2 + x_A - 2 \] נעביר את 10 אגף כדי לקבל משוואה ריבועית מסודרת: \[ x_A^2 + x_A - 12 = 0 \] נפתור בעזרת פירוק טרינום או נוסחת שורשים: \[ (x_A + 4)(x_A - 3) = 0 \] קיבלנו שני פתרונות אפשריים: \( x_A = -4 \) או \( x_A = 3 \). איך פוסלים? נתון לנו במפורש בשאלה שקודקוד \( A \) נמצא ברביע הראשון. ברביע הראשון חייבים להתקיים גם \( x > 0 \) וגם \( y > 0 \). הפתרון השלילי (-4) נפסל, ולכן נשארנו עם: \( x_A = 3 \). כעת נציב את ה-\( x \) שמצאנו חזרה כדי לקבל את קודקוד \( A \) המלא: \( y_A = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \). מכאן: \( A(3, 2) \). לבסוף, נחשב את קודקוד \( C \) (ה-\( x \) שלו גדול ב-3 מזה של \( A \)): \( x_C = 3 + 3 = 6 \). מכאן: \( C(6, -2) \).

מושגים: פסילת פתרון בעזרת רביעים