גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

השאלה

במשולש $ ABC $ קודקוד $ A $ הוא $ (0,7) $ וקודקוד $ B $ הוא $ (-3,-2) $. המשוואות של שניים מהתיכונים במשולש הן: \[ y = -x + 1 \] \[ y = 0.5x - 0.5 \] א. מצאו את שיעורי קודקוד $ C $. ב. הראו שהמשולש $ ABC $ שווה שוקיים וישר זווית.

הטיפ של עובד

בבעיות עם תיכונים שבהן נתונים לכם משוואות וקודקודים, הדבר הראשון שכדאי לעשות הוא להציב את הקודקודים הנתונים במשוואות הישרים. כך תגלו איזה תיכון יוצא מאיזה קודקוד (הרי תיכון שיוצא מקודקוד מסוים, חייב לעבור דרכו!). ברגע שזיהיתם מי זה מי, תוכלו לסמן את הקודקוד החסר בעזרת משתנה עזר (למשל $ x_c $) ולנצל את העובדה שהתיכון השני עובר בדיוק דרך נקודת אמצע הצלע מולו.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: זיהוי התיכונים ומשוואותיהם

כדי לדעת איזו משוואה שייכת לאיזה תיכון, נבדוק אילו מהקודקודים הנתונים, $ A(0,7) $ או $ B(-3,-2) $, נמצאים על הישרים. נציב את $ B(-3,-2) $ במשוואה $ y = 0.5x - 0.5 $: \[ -2 = 0.5 \cdot (-3) - 0.5 \] \[ -2 = -1.5 - 0.5 \implies -2 = -2 \] פסוק אמת! לכן, המשוואה $ y = 0.5x - 0.5 $ היא התיכון היוצא מקודקוד $ B $. אם נבדוק את הקודקודים עבור המשוואה השנייה $ y = -x + 1 $, נגלה ששניהם לא מקיימים אותה. המסקנה היא שהמשוואה $ y = -x + 1 $ חייבת להיות התיכון היוצא מקודקוד $ C $.

מושגים: התאמת קודקוד לישר

שלב 2: מציאת שיעורי קודקוד C (סעיף א')

כיוון שהקודקוד $ C $ מונח על התיכון שלו שמשוואתו $ y = -x + 1 $, נסמן את שיעור ה-$ x $ שלו ב-$ x_c $. שיעור ה-$ y $ שלו יהיה $ -x_c + 1 $. כלומר: $ C(x_c, -x_c + 1) $. התיכון היוצא מקודקוד $ B $ (שמשוואתו $ y = 0.5x - 0.5 $) עובר בדיוק דרך אמצע הצלע $ AC $. נקרא לנקודת האמצע הזו $ D $. נמצא את שיעורי הנקודה $ D $ (אמצע $ AC $) בעזרת הקודקוד $ A(0,7) $ והקודקוד $ C $ שסימנו: \[ x_D = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + x_c}{2} = \frac{x_c}{2} \] \[ y_D = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{7 + (-x_c + 1)}{2} = \frac{8 - x_c}{2} = 4 - 0.5x_c \] הנקודה $ D(\frac{x_c}{2}, 4 - 0.5x_c) $ נמצאת על התיכון $ BD $. לכן, נציב אותה במשוואת התיכון $ y = 0.5x - 0.5 $: \[ 4 - 0.5x_c = 0.5 \cdot \left(\frac{x_c}{2}\right) - 0.5 \] \[ 4 - 0.5x_c = 0.25x_c - 0.5 \] נעביר את האגפים: \[ 4.5 = 0.75x_c \] נחלק ב-0.75 ונקבל: \[ x_c = 6 \] כעת נציב $ x_c = 6 $ חזרה כדי למצוא את שיעור ה-$ y $ של $ C $: \[ y_c = -6 + 1 = -5 \] תשובה סופית לסעיף א': $ C(6, -5) $

מושגים: נוסחת אמצע קטע (Midpoint)

שלב 3: הוכחה שהמשולש שווה שוקיים וישר זווית (סעיף ב')

כעת יש לנו את שלושת הקודקודים: $ A(0,7) $, $ B(-3,-2) $, $ C(6,-5) $. חלק 1: הוכחת משולש שווה שוקיים נשתמש בנוסחת המרחק (Distance) כדי לחשב את ריבועי אורכי הצלעות $ AB $ ו-$ BC $: \[ AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = (-3 - 0)^2 + (-2 - 7)^2 = (-3)^2 + (-9)^2 = 9 + 81 = 90 \] \[ BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 = (6 - (-3))^2 + (-5 - (-2))^2 = 9^2 + (-3)^2 = 81 + 9 = 90 \] קיבלנו ש-$ AB^2 = BC^2 = 90 $, כלומר $ AB = BC $. המשולש הוא שווה שוקיים. חלק 2: הוכחת משולש ישר זווית נחשב את שיפועי הצלעות $ AB $ ו-$ BC $ ונראה שהם הופכיים ונגדיים (מכפלתם $ -1 $): \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 7}{-3 - 0} = \frac{-9}{-3} = 3 \] \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-5 - (-2)}{6 - (-3)} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} \] נבדוק את מכפלת השיפועים: \[ m_{AB} \cdot m_{BC} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 \] מכיוון שמכפלת השיפועים שווה ל-$ -1 $, הצלעות $ AB $ ו-$ BC $ מאונכות זו לזו ($ AB \perp BC $). ולכן הזווית $ \angle B $ היא זווית ישרה (90 מעלות). הראינו שהמשולש הוא גם שווה שוקיים וגם ישר זווית. מ.ש.ל סעיף ב'.

מושגים: משולש שווה שוקיים וישר זווית

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. $ C(6, -5) $ ב. הוכחה (הראינו ש-$ AB=BC $ ושהשיפועים מקיימים $ m_{AB} \cdot m_{BC} = -1 $).

חזרה לקטלוג

#139גיאומטריה אנליטית

המשולש וישרים

קראו את השאלה

שאלה

במשולש $ABC$ קודקוד $A$ הוא $(0,7)$ וקודקוד $B$ הוא $(-3,-2)$ . המשוואות של שניים מהתיכונים במשולש הן: $y = -x + 1$ $y = 0.5x - 0.5$ א. מצאו את שיעורי קודקוד $C$ . ב. הראו שהמשולש $ABC$ שווה שוקיים וישר זווית.

עוד שאלות בהמשולש וישרים