גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

שלב 1: זיהוי הצלע הנתונה ומציאת משוואת AB

המשוואה הנתונה היא \( 2x - y - 5 = 0 \) (או אם נעביר אגף: \( y = 2x - 5 \)). נבדוק איזו מהנקודות הנתונות נמצאת עליה. נציב את \( A(4, 3) \): \( 2(4) - 3 - 5 = 8 - 8 = 0 \). נקודה A אכן יושבת על הישר! נציב את \( B(1, 5) \): \( 2(1) - 5 - 5 = 2 - 10 = -8 \neq 0 \). נקודה B לא יושבת על הישר. מסקנה: הישר הנתון עובר דרך A אך לא דרך B, ולכן זוהי בהכרח הצלע AC. כעת נוכל למצוא בקלות את משוואת הצלע AB, כיוון שיש לנו את הנקודות A ו-B: נמצא שיפוע: \( m_{AB} = \frac{5 - 3}{1 - 4} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \) נבנה משוואה בעזרת הנקודה \( A(4, 3) \): \[ y - 3 = -\frac{2}{3}(x - 4) \] \[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3} + 3 \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{17}{3} \]

מושגים: התאמת נקודה לישר

שלב 2: מציאת אורך הבסיס AC באמצעות גובה המשולש

כדי למצוא את הקודקוד השלישי C, עלינו לדעת מהו אורך הצלע AC. נשתמש בנתון שטח המשולש (8). נחשב את הגובה של המשולש (נסמנו h). הגובה לצלע AC הוא למעשה המרחק של קודקוד B מהישר AC (\( 2x - y - 5 = 0 \)). נציב את \( B(1, 5) \) בנוסחת מרחק נקודה מישר: \[ h = \frac{|2(1) - 1(5) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \] \[ h = \frac{|2 - 5 - 5|}{\sqrt{5}} = \frac{|-8|}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} \] כעת נציב זאת בנוסחת שטח משולש: השטח שווה לבסיס כפול גובה לחלק ל-2. \[ \frac{AC \cdot h}{2} = 8 \] \[ AC \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = 16 \] נחלק את המשוואה ונקבל: \( AC = 2\sqrt{5} \).

מושגים: מרחק נקודה מישר

שלב 3: מציאת שיעורי הקודקוד C

הקודקוד C יושב על הישר \( y = 2x - 5 \), לכן נסמן אותו כך: \( C(x, 2x - 5) \). אנו יודעים שהמרחק בין \( A(4, 3) \) לבין C הוא \( 2\sqrt{5} \). נציב בנוסחת המרחק ונעלה את שני האגפים בריבוע: \[ AC^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 \] \[ (2\sqrt{5})^2 = (x - 4)^2 + ((2x - 5) - 3)^2 \] \[ 20 = (x - 4)^2 + (2x - 8)^2 \] נוציא גורם משותף מהסוגריים השניים כדי לפשט: \( (2x - 8)^2 = (2(x - 4))^2 = 4(x - 4)^2 \). \[ 20 = (x - 4)^2 + 4(x - 4)^2 \] \[ 5(x - 4)^2 = 20 \implies (x - 4)^2 = 4 \] יש שתי אפשרויות לפתרון המשוואה: אפשרות 1: \( x - 4 = 2 \implies x = 6 \). ה-y יהיה \( 2(6) - 5 = 7 \). התקבלה הנקודה \( (6, 7) \). אפשרות 2: \( x - 4 = -2 \implies x = 2 \). ה-y יהיה \( 2(2) - 5 = -1 \). התקבלה הנקודה \( (2, -1) \). אבל, נתון שהמשולש נמצא ברביע הראשון! ברביע הראשון כל השיעורים חיוביים. הנקודה \( (2, -1) \) מכילה y שלילי ולכן נפסלת. מכאן ששיעורי הקודקוד השלישי הם: \( C(6, 7) \).

מושגים: פסילת פתרונות גיאומטריים

שלב 4: מציאת משוואת הצלע השלישית BC

נותר לנו רק למצוא את משוואת הצלע השלישית (BC) בעזרת שתי הנקודות שכעת ידועות לנו: \( B(1, 5) \) ו- \( C(6, 7) \). נמצא את השיפוע: \[ m_{BC} = \frac{7 - 5}{6 - 1} = \frac{2}{5} = 0.4 \] נציב את השיפוע ואת הנקודה \( B(1, 5) \) למשוואת הישר: \[ y - 5 = 0.4(x - 1) \] \[ y = 0.4x - 0.4 + 5 \] \[ y = 0.4x + 4.6 \] (זוהי משוואת BC).