גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

שלב 1: מציאת שיעורי הקודקוד B

הקודקוד B נמצא על הצלע AB, שמשוואתה נתונה לנו: \(3y - x = 0\). נסדר את המשוואה בצורה נוחה יותר (נעביר את x אגף ונחלק ב-3): \[ 3y = x \implies y = \frac{1}{3}x \] נתון לנו ששיעור ה-x של קודקוד B הוא 3. נציב זאת במשוואת הישר כדי למצוא את ה-y שלו: \[ y_B = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \] לכן, שיעורי הקודקוד B הם: \(B(3, 1)\).

שלב 2: הבעת קודקודים A ו-C באמצעות נעלם

נתון שהצלע BC מקבילה לציר ה-x. המשמעות היא שלכל הנקודות על קטע זה יש את אותו שיעור y. לכן: \[ y_C = y_B = 1 \] נסמן את שיעור ה-x של קודקוד A בנעלם, למשל \(x_A\). מאחר והנקודה A נמצאת על הישר \(y = \frac{1}{3}x\), נוכל להביע את ה-y שלה: \(y_A = \frac{1}{3}x_A\). כלומר, הקודקוד A הוא: \(A(x_A, \frac{x_A}{3})\). כמו כן, נתון ששיעור ה-x של קודקוד C גדול ב-1 משיעור ה-x של קודקוד A. כלומר: \[ x_C = x_A + 1 \] נאחד את מה שידוע לנו על נקודה C: יש לה את ה-y של נקודה B, ואת ה-x שהבענו הרגע. לכן: \(C(x_A + 1, 1)\).

מושגים: ישרים מקבילים לצירים

שלב 3: שימוש בתנאי ניצבות למציאת x_A

נתון שהמשולש ישר זווית ב-A, כלומר הצלעות AB ו-AC מאונכות זו לזו. לכן, מכפלת השיפועים שלהן היא -1. את שיפוע הישר AB אנו כבר יודעים מתוך המשוואה: \(m_{AB} = \frac{1}{3}\). מכאן נובע ששיפוע הישר AC צריך להיות ההופכי והנגדי שלו: \[ m_{AC} = -3 \] כעת, נחשב את השיפוע של AC לפי שתי הנקודות שהבענו בשלב הקודם (\(A(x_A, \frac{x_A}{3})\) ו- \(C(x_A + 1, 1)\)): \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} \] \[ -3 = \frac{1 - \frac{x_A}{3}}{(x_A + 1) - x_A} \] במכנה, \(x_A\) מצטמצם ונשאר פשוט 1. נותרנו עם המשוואה הפשוטה: \[ -3 = 1 - \frac{x_A}{3} \] נעביר את 1 אגף ונקבל: \(-4 = -\frac{x_A}{3}\) נכפול ב-(-3) ונקבל את התוצאה: \(x_A = 12\). נציב חזרה כדי למצוא את הקודקודים הסופיים: עבור A: ה-y הוא שליש מ-12, כלומר 4. \(A(12, 4)\). עבור C: ה-x גדול ב-1 מ-12, כלומר 13. ה-y נשאר 1. \(C(13, 1)\).

מושגים: תנאי ניצבות

שלב 4: חישוב שטח המשולש (סעיף ב')

אפשר לחשב את השטח בעזרת אורך הניצבים AB ו-AC, אבל יש דרך קלה וחכמה הרבה יותר! מכיוון שהצלע BC מקבילה לציר ה-x, אפשר להתייחס אליה כאל "הבסיס" של המשולש. אורכה הוא פשוט ההפרש בין שיעורי ה-x של קודקודיה: \[ \text{בסיס } BC = x_C - x_B = 13 - 3 = 10 \] הגובה לצלע BC יוצא מהקודקוד A ועד לישר BC. כיוון ש-BC אופקי (מקביל לציר x), אורך הגובה הוא פשוט ההפרש בין שיעור ה-y של קודקוד A לבין שיעור ה-y של הצלע BC (שהוא 1): \[ \text{גובה } h = y_A - y_B = 4 - 1 = 3 \] כעת נחשב את השטח (בסיס כפול גובה חלקי 2): \[ S = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] תשובה: שטח המשולש הוא 15 יח"ר.

מושגים: שטח משולש מבוסס צירים