גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

שלב 1: מציאת משוואת הצלע BC

נקודה O היא מפגש הגבהים. לכן, הישר העובר דרך הקודקוד A והנקודה O הוא הגובה לצלע BC. נחשב את השיפוע של גובה זה (הישר AO): \[ m_{AO} = \frac{y_O - y_A}{x_O - x_A} \] \[ m_{AO} = \frac{4 - 1}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3 \] הצלע BC מאונכת לגובה AO, ולכן שיפועה הוא ההופכי והנגדי ל-3: \[ m_{BC} = -\frac{1}{3} \] הקודקוד \(B(6, 4)\) נמצא על הצלע BC. נמצא את משוואתה: \[ y - 4 = -\frac{1}{3} \cdot (x - 6) \] \[ y = -\frac{1}{3}x + 2 + 4 \implies y = -\frac{1}{3}x + 6 \] (זוהי משוואת BC)

מושגים: מפגש גבהים ותנאי ניצבות

שלב 2: מציאת משוואת הצלע AC ושיעורי נקודה C (סעיף א')

נחשב את שיפוע הגובה העובר דרך B ו-O (הישר BO). הנקודות הן \(B(6, 4)\) ו- \(O(1, 4)\): \[ m_{BO} = \frac{4 - 4}{6 - 1} = \frac{0}{5} = 0 \] שיפוע 0 אומר שהגובה BO הוא ישר אופקי המקביל לציר ה-x. הצלע AC מאונכת לגובה BO. צלע שמאונכת לישר אופקי חייבת להיות ישר אנכי (המקביל לציר ה-y). משוואה של ישר אנכי היא תמיד מהצורה \(x = c\). הקודקוד \(A(0, 1)\) מונח על הצלע AC. מכיוון שה-x של נקודה A הוא 0, משוואת הצלע AC כולה היא פשוט: \(x = 0\) (כלומר, ציר ה-y). הקודקוד C הוא נקודת החיתוך של שתי הצלעות, BC ו-AC. נציב \(x = 0\) במשוואת BC שמצאנו: \[ y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 6 = 6 \] לכן, שיעורי קודקוד C הם \(C(0, 6)\).

מושגים: ישרים אופקיים ואנכיים

שלב 3: הוכחה ש-AF גובה ל-BC (סעיף ב' i)

נתון כי המשך הישר AO חותך את BC בנקודה F. כלומר, הנקודות A, O, F נמצאות כולן על אותו ישר (הישר AF). כיוון שנקודה O היא מפגש הגבהים של המשולש, הישר היוצא מהקודקוד A ועובר דרך O הוא בהכרח הישר שעליו מונח הגובה לצלע ממול (BC). מכיוון שהנקודה F מונחת על הצלע BC, הקטע AF הוא בדיוק הקטע היורד מקודקוד A ומאונך לצלע שממול. דרך נוספת לראות זאת אלגברית: שיפוע AF הוא למעשה שיפוע AO שמצאנו (3). שיפוע BC הוא \(-\frac{1}{3}\). מכפלתם היא -1, ולכן \(AF \perp BC\). מ.ש.ל (i).

שלב 4: בדיקת התלכדות התיכון והגובה (סעיף ב' ii)

נקודה D היא אמצע הצלע BC. נמצא את שיעוריה לפי נוסחת אמצע קטע, בעזרת הקודקודים \(B(6, 4)\) ו- \(C(0, 6)\): \[ x_D = \frac{6 + 0}{2} = 3 \] \[ y_D = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] לכן: \(D(3, 5)\). הקטע AD הוא התיכון לצלע BC. כדי שהתיכון AD יתלכד עם הגובה AF, הנקודה D צריכה להיות מונחת בדיוק על הישר AF (כלומר, על הישר AO). נמצא את משוואת הישר AF (שיפועו 3 והוא עובר דרך \(A(0, 1)\)): \[ y - 1 = 3 \cdot (x - 0) \implies y = 3x + 1 \] נציב את הנקודה D בתוך משוואת הגובה ונבדוק האם מתקבל פסוק אמת: \[ 5 = 3 \cdot 3 + 1 \] \[ 5 = 10 \] (זהו פסוק שקר!) המסקנה היא שהנקודה D אינה מונחת על הגובה AF. לכן, הקטעים שונים. התיכון והגובה אינם מתלכדים.

מושגים: התלכדות תיכון וגובה