משוואות של שניים מהתיכונים במשולש הן \( y = 6 - 2x \) ו- \( y = x + 2 \). אחד מקודקודי המשולש הוא \( A(6, 4) \). א. מצאו את שיעורי שני הקודקודים האחרים של המשולש (\( C \) ו-\( B \)). ב. הוכח שהמשולש \( \Delta ABC \) הוא שווה-שוקיים וישר-זווית. ג. חשבו את השטח של משולש שאחד מקדקודיו הוא נקודת מפגש התיכונים במשולש הנתון ושני קדקודיו האחרים הם \( B \) ו-\( C \).
שני טריקים ענקיים מסתתרים פה! 1. בדיקת קודקודים זריזה: יש לנו שני תיכונים ונקודה. איך נדע מאיזה קודקוד יוצא איזה תיכון? פשוט נציב את הנקודה \( A(6, 4) \) בשתי משוואות התיכונים! אם תעשו זאת, תגלו שהיא לא מקיימת אף אחת מהן! המסקנה? התיכונים הנתונים הם התיכונים שיוצאים מ-B ו-C. זה עושה סדר בבלאגן. 2. קסם השטחים של מפגש תיכונים: בסעיף ג' מבקשים שטח של משולש פנימי הנוצר על ידי נקודת מפגש התיכונים ושני קודקודי הבסיס. שימו לב: נקודת מפגש התיכונים מחלקת את המשולש הגדול לשלושה משולשים קטנים שווי-שטח! במקום לחשב גבהים, למצוא נקודות חיתוך או להשתמש בנוסחאות מרחק - פשוט חשבו את שטח המשולש הגדול (ABC) וחלקו אותו ב-3. בום! יש לכם תשובה בשנייה.
כדי להבין אילו תיכונים נתונים לנו, נבדוק האם קודקוד \( A(6, 4) \) מונח על אחד מהם. נציב בתיכון הראשון \( y = -2x + 6 \): \( 4 = -2(6) + 6 \implies 4 = -6 \) (פסוק שקר). נציב בתיכון השני \( y = x + 2 \): \( 4 = 6 + 2 \implies 4 = 8 \) (פסוק שקר). המסקנה היא שקודקוד A אינו נמצא על התיכונים הללו, ולכן אלה הם התיכונים היוצאים מקודקודים B ו-C. נניח (ללא הגבלת הכלליות) שהתיכון היוצא מ-B הוא \( y = -2x + 6 \), והתיכון היוצא מ-C הוא \( y = x + 2 \).
מושגים: זיהוי ישרים אלימינטיבי
קודקוד C נמצא על התיכון שיוצא ממנו (\( y = x + 2 \)). לכן, נסמן את שיעור ה-x שלו ב-\( x_c \), והקודקוד יהיה: \( C(x_c, x_c + 2) \). התיכון היוצא מ-B, מגיע בדיוק לאמצע הצלע AC. נקרא לנקודת האמצע D. נמצא את D בעזרת נוסחת אמצע קטע (בין \( A(6, 4) \) ל- C): \[ x_D = \frac{x_c + 6}{2} \] \[ y_D = \frac{x_c + 2 + 4}{2} = \frac{x_c + 6}{2} \] הנקודה D נמצא על התיכון היוצא מ-B (שמשוואתו \( y = -2x + 6 \)). נציב את D במשוואה זו: \[ \frac{x_c + 6}{2} = -2 \cdot \left(\frac{x_c + 6}{2}\right) + 6 \] נכפול הכל ב-2 כדי להיפטר מהשברים: \[ x_c + 6 = -2(x_c + 6) + 12 \] \[ x_c + 6 = -2x_c - 12 + 12 \] \[ 3x_c = -6 \implies x_c = -2 \] נציב בחזרה כדי למצוא את ה-y: \( y_c = -2 + 2 = 0 \). קיבלנו: \( C(-2, 0) \).
מושגים: נוסחת אמצע קטע (Midpoint)
נעשה תהליך זהה עבור קודקוד B. הוא יושב על התיכון שלו (\( y = -2x + 6 \)), ולכן נסמנו: \( B(x_b, -2x_b + 6) \). התיכון היוצא מ-C, מגיע לאמצע הצלע AB. נקרא לנקודה זו E. נמצא את E בעזרת אמצע קטע (בין \( A(6, 4) \) ל- B): \[ x_E = \frac{x_b + 6}{2} \] \[ y_E = \frac{-2x_b + 6 + 4}{2} = \frac{-2x_b + 10}{2} = -x_b + 5 \] הנקודה E נמצאת על התיכון היוצא מ-C (שמשוואתו \( y = x + 2 \)). נציב את E במשוואה זו: \[ -x_b + 5 = \frac{x_b + 6}{2} + 2 \] נכפול הכל ב-2: \[ -2x_b + 10 = x_b + 6 + 4 \] \[ -3x_b = 0 \implies x_b = 0 \] נציב בחזרה: \( y_b = -2(0) + 6 = 6 \). קיבלנו: \( B(0, 6) \).
הקודקודים שלנו הם: \( A(6, 4) \) , \( B(0, 6) \) , \( C(-2, 0) \). 1. הוכחת משולש ישר זווית: נבדוק את שיפועי הצלעות AB ו-BC. \[ m_{AB} = \frac{6 - 4}{0 - 6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} \] \[ m_{BC} = \frac{0 - 6}{-2 - 0} = \frac{-6}{-2} = 3 \] מכפלת השיפועים היא: \( -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1 \). מכיוון שהמכפלה היא מינוס 1, הצלעות מאונכות זו לזו (\( AB \perp BC \)). לכן המשולש הוא ישר זווית (זווית B שווה 90 מעלות). 2. הוכחת משולש שווה שוקיים: נבדוק את ריבועי אורכי הצלעות שיצרנו (הניצבים AB ו-BC) בעזרת נוסחת המרחק (Distance): \[ AB^2 = (6 - 0)^2 + (4 - 6)^2 = 36 + 4 = 40 \] \[ BC^2 = (0 - (-2))^2 + (6 - 0)^2 = 4 + 36 = 40 \] מכיוון ש- \( AB^2 = BC^2 = 40 \), נובע כי \( AB = BC \). לכן המשולש הוא שווה שוקיים.
אנו מתבקשים למצוא את שטח המשולש שקודקודיו הם B, C ונקודת מפגש התיכונים (נסמנה M). המשולש המבוקש הוא \( \Delta MBC \). על פי משפט בגיאומטריה: נקודת מפגש התיכונים מחלקת את המשולש לשלושה משולשים שווי-שטח. לכן, שטח המשולש \( \Delta MBC \) יהיה בדיוק שליש משטח המשולש הגדול \( \Delta ABC \). נחשב את שטח המשולש הגדול. כיוון שהוכחנו שהוא ישר זווית (זווית B היא 90), השטח שווה למחצית מכפלת הניצבים (AB כפול BC): \[ S_{ABC} = \frac{AB \cdot BC}{2} \] בשלב הקודם מצאנו ש- \( AB = \sqrt{40} \) ו- \( BC = \sqrt{40} \): \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{40} \cdot \sqrt{40}}{2} = \frac{40}{2} = 20 \] כעת, השטח המבוקש הוא פשוט שליש מהשטח הזה: \[ S_{MBC} = \frac{20}{3} \] (כלומר 6.66 או \( 6 \frac{2}{3} \) יח"ר).
מושגים: תכונת השטחים של מפגש תיכונים
התשובה הסופית: א. \( B(0, 6) \) , \( C(-2, 0) \) ב. הוכחה. (אורכי השוקיים \( AB=BC=\sqrt{40} \) , מכפלת השיפועים שווה -1 ולכן \( \angle B = 90^\circ \)). ג. \( \frac{20}{3} \) (או 6.66 סמ"ר).
משוואות של שניים מהתיכונים במשולש הן y=6−2x ו- y=x+2. אחד מקודקודי המשולש הוא A(6,4). א. מצאו את שיעורי שני הקודקודים האחרים של המשולש (C ו-B). ב. הוכח שהמשולש ΔABC הוא שווה-שוקיים וישר-זווית. ג. חשבו את השטח של משולש שאחד מקדקודיו הוא נקודת מפגש התיכונים במשולש הנתון ושני קדקודיו האחרים הם B ו-C.
