גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

שלב 1: זיהוי הקודקוד הנתון

יש לנו נקודה \( (13, -9) \). נבדוק לאיזה קודקוד היא שייכת. הגובה לצלע AB (נסמנו \( h_c \)) הוא \( y = 2x - 5 \). גובה זה יוצא מקודקוד C. האם הנקודה עליו? \( -9 = 2(13) - 5 = 21 \) (פסוק שקר). הנקודה היא לא C. הגובה לצלע AC (נסמנו \( h_b \)) הוא \( 3y - x = 0 \). גובה זה יוצא מקודקוד B. האם הנקודה עליו? \( 3(-9) - 13 = -27 - 13 = -40 \ne 0 \) (פסוק שקר). הנקודה היא לא B. המסקנה: הקודקוד הנתון הוא בהכרח קודקוד \( A(13, -9) \).

מושגים: זיהוי קודקודים אלימינטיבי

שלב 2: מציאת משוואות הצלעות AB ו-AC

משוואת הצלע AB: שיפוע הגובה ל-AB הוא \( m = 2 \) (מתוך \( y = 2x - 5 \)). לכן, שיפוע הצלע AB (המאונכת לו) הוא הופכי ונגדי: \( m_{AB} = -0.5 \). נמצא את משוואת AB בעזרת נקודה A: \[ y - (-9) = -0.5(x - 13) \implies y = -0.5x + 6.5 - 9 \implies y = -0.5x - 2.5 \] משוואת הצלע AC: נסדר את משוואת הגובה ל-AC: \( 3y = x \implies y = \frac{1}{3}x \). שיפוע הגובה הוא \( \frac{1}{3} \). לכן, שיפוע הצלע AC (המאונכת לו) הוא הופכי ונגדי: \( m_{AC} = -3 \). נמצא את משוואת AC בעזרת נקודה A: \[ y - (-9) = -3(x - 13) \implies y = -3x + 39 - 9 \implies y = -3x + 30 \]

מושגים: תנאי ניצבות ובניית צלעות

שלב 3: מציאת הקודקודים B ו-C (סעיף א')

קודקוד C הוא נקודת החיתוך בין הצלע AC לבין הגובה ל-AB (שיוצא מ-C). נשווה בין המשוואות: \( -3x + 30 = 2x - 5 \) \[ 5x = 35 \implies x = 7 \] נציב במשוואה: \( y = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9 \). \( C(7, 9) \). קודקוד B הוא נקודת החיתוך בין הצלע AB לבין הגובה ל-AC (שיוצא מ-B). נשווה בין המשוואות: \( -0.5x - 2.5 = \frac{1}{3}x \) נעביר אגפים: \( \frac{5}{6}x = -2.5 \implies x = -2.5 \cdot \frac{6}{5} = -3 \). נציב במשוואה: \( y = \frac{1}{3}(-3) = -1 \). \( B(-3, -1) \).

שלב 4: מציאת משוואת הגובה השלישי (סעיף ב')

הגובה השלישי יוצא מ-A לצלע BC. לכן הוא מאונך ל-BC. נמצא קודם את שיפוע הצלע BC לפי הנקודות B ו-C שמצאנו: \[ m_{BC} = \frac{9 - (-1)}{7 - (-3)} = \frac{10}{10} = 1 \] שיפוע הגובה ל-BC יהיה ההופכי והנגדי ל-1, כלומר: \( m = -1 \). הגובה עובר דרך קודקוד \( A(13, -9) \). נבנה את משוואתו: \[ y - (-9) = -1(x - 13) \implies y = -x + 13 - 9 \implies y = -x + 4 \] (זוהי משוואת הגובה לצלע BC).

שלב 5: חישוב שטח המשולש (סעיף ג')

כדי לחשב שטח, ניקח את אורך הצלע BC ("הבסיס") ואת הגובה שיורד אליה מ-A. אורך BC (לפי נוסחת Distance): \[ BC = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (9 - (-1))^2} \] \[ BC = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \] הגובה ל-BC: הגובה הוא בעצם המרחק בין הנקודה A לבין הצלע BC. נמצא קודם את משוואת הצלע BC (שיפוע 1, נקודה C): \[ y - 9 = 1(x - 7) \implies y = x + 2 \] הצורה הכללית: \( x - y + 2 = 0 \). נציב את \( A(13, -9) \) בנוסחת מרחק נקודה מישר: \[ h = \frac{|1(13) - 1(-9) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|13 + 9 + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} \] השטח (S): \[ S = \frac{BC \cdot h}{2} \] \[ S = \frac{\sqrt{200} \cdot \frac{24}{\sqrt{2}}}{2} \] נזכור ש- \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \). נציב זאת ונקבל: \[ S = \frac{10\sqrt{2} \cdot 24}{2\sqrt{2}} \] שורש 2 מצטמצם, ו-10 חלקי 2 זה 5. נשארנו עם: \( 5 \cdot 24 = 120 \). שטח המשולש הוא 120 סמ"ר.

מושגים: מערכת גבהים ושטח משולש