גיאומטריה אנליטית · המשולש וישרים

שלב 1: מציאת משוואת הצלע AB (סעיף א')

הישר AB עובר דרך הנקודה הנתונה \( B(0, 4) \). זוהי בדיוק נקודת החיתוך עם ציר ה-y, ולכן משוואת הישר תהיה מהצורה: \( y = mx + 4 \). נסדר את המשוואה לצורה הכללית (כדי להשתמש בנוסחת המרחק): \[ mx - y + 4 = 0 \] נתון כי המרחק של הישר מראשית הצירים \( (0, 0) \) הוא 2.4. נציב בנוסחת מרחק נקודה מישר: \[ 2.4 = \frac{|m(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \] \[ 2.4 = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} \] נכפול במונה ונחלק ב-2.4 כדי לבודד את השורש: \[ \sqrt{m^2 + 1} = \frac{4}{2.4} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3} \] נעלה את שני האגפים בריבוע: \[ m^2 + 1 = \frac{25}{9} \] \[ m^2 = \frac{16}{9} \] נוציא שורש. נקבל שתי אפשרויות לשיפוע: \( m = \frac{4}{3} \) או \( m = -\frac{4}{3} \). איך נבחר? נתון שקודקוד A נמצא על החלק החיובי של ציר ה-x. זה אומר שיש לו x חיובי ו-y אפס. הנקודה B היא (0,4). הישר יורד מהנקודה B למטה ולכן השיפוע חייב להיות שלילי! נבחר ב- \( m = -\frac{4}{3} \). ולכן משוואת הצלע היא: \[ y = -\frac{4}{3}x + 4 \] על הדרך, נוכל גם למצוא את קודקוד A (חיתוך עם ציר x): \( 0 = -\frac{4}{3}x + 4 \implies x = 3 \). כלומר \( A(3, 0) \).

מושגים: מרחק מראשית הצירים

שלב 2: מציאת שיעורי הקודקוד C (סעיף ב')

נתונה הנקודה \( M(2, 0) \). נחשב את שיפוע הישר BM בעזרתה ובעזרת \( B(0, 4) \): \[ m_{BM} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2 \] נתון כי הצלע BC מאונכת לישר BM. לכן שיפועה יהיה הופכי ונגדי ל-(-2): \[ m_{BC} = \frac{1}{2} \] נמצא את משוואת הצלע BC שעוברת בנקודה B(0,4) עם שיפוע 1/2: \[ y = \frac{1}{2}x + 4 \] נתון כי קודקוד C נמצא על ציר ה-x, לכן נציב y=0 במשוואה כדי למצוא אותו: \[ 0 = \frac{1}{2}x + 4 \implies \frac{1}{2}x = -4 \implies x = -8 \] בדקנו וזה תואם לנתון ש-C נמצא על החלק השלילי של ציר ה-x. שיעורי הנקודה הם: \( C(-8, 0) \)

מושגים: תנאי מאונכות והסקת קודקוד

שלב 3: מציאת משוואות AT ו-BM ונקודת החיתוך P

הנקודה T היא אמצע הצלע BC. נמצא אותה בעזרת ממוצע קודקודים B(0,4) ו-C(-8,0): \[ x_T = \frac{0 + (-8)}{2} = -4 \] \[ y_T = \frac{4 + 0}{2} = 2 \] הנקודה היא \( T(-4, 2) \). כעת נמצא את משוואת הישר AT שעובר בין \( A(3, 0) \) ל- \( T(-4, 2) \): \[ m_{AT} = \frac{2 - 0}{-4 - 3} = \frac{2}{-7} = -\frac{2}{7} \] משוואת AT (עם הנקודה A): \( y - 0 = -\frac{2}{7}(x - 3) \implies y = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7} \). הישר השני הוא BM, שאת שיפועו מצאנו מקודם (-2) והוא עובר ב-(0,4), ולכן משוואתו: \( y = -2x + 4 \). הנקודה P היא חיתוך הישרים AT ו-BM. נשווה ביניהם: \[ -2x + 4 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7} \] נכפול הכל ב-7: \[ -14x + 28 = -2x + 6 \] \[ 22 = 12x \implies x = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} \] לצורך השאלה, אין חובה למצוא את שיעור ה-y של P (ראו שלב הבא).

שלב 4: חישוב היחס (סעיף ג')

כפי שצוין בטיפ, כדי למצוא את היחס שבו הנקודה P מחלקת את הקטע AT (כלומר, את היחס \( \frac{AP}{PT} \)), מספיק להשתמש בהפרשי שיעורי ה-x בלבד של הנקודות A, P, T. שיעורי ה-x הרלוונטיים: \( x_A = 3 \) , \( x_P = \frac{11}{6} \) , \( x_T = -4 \) נחשב את היחס (הפרשים מוחלטים או חיוביים): \[ \frac{AP}{PT} = \frac{|x_A - x_P|}{|x_P - x_T|} \] \[ \frac{AP}{PT} = \frac{3 - \frac{11}{6}}{\frac{11}{6} - (-4)} \] נהפוך למכנה משותף: 3 זה 18/6. ו-(-4) זה -24/6. \[ \text{מונה} = \frac{18}{6} - \frac{11}{6} = \frac{7}{6} \] \[ \text{מכנה} = \frac{11}{6} + \frac{24}{6} = \frac{35}{6} \] \[ \text{יחס} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{35}{6}} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} \] תשובה סופית: הנקודה P מחלקת את הקטע AT ביחס של 1:5.

מושגים: חישוב יחס חלוקת קטע