העלאה בריבוע שיוצרת פתרון מיותר: למה צריך לבדוק החזרה

כשפותרים משוואה עם שורש, בדרך כלל מעלים את שני הצדדים בריבוע. הבעיה: הפעולה הזו לא הפיכה באופן מלא. ייתכן שייווצר פתרון שלא נכון למשוואה המקורית.

דוגמה קלאסית

פתרו: √(x + 6) = x.

העלאה בריבוע:

$$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0$$

קיבלנו x = 3 או x = −2.

בדיקה במשוואה המקורית:

• x = 3: √9 = 3. נכון.
• x = −2: √4 = −2. לא נכון, כי השורש החיובי הוא 2, לא −2.

לכן הפתרון היחיד הוא x = 3. הערך x = −2 הוא פתרון מיותר שנוצר כתוצאה מההעלאה בריבוע.

למה זה קורה

המעבר מ-√(x + 6) = x ל-x + 6 = x² בעצם פותר גם את −√(x + 6) = x. כל פתרון של המשוואה הריבועית מקיים אחת משתי המקוריות. צריך לסנן.

כללי בדיקה

לאחר העלאה בריבוע, תמיד החזירו כל פתרון למשוואה המקורית. אם הוא לא מקיים אותה, פסלו אותו ורשמו במפורש:

"x = −2 לא קביל כי הוא לא מקיים את המשוואה המקורית."

המוודאים בבגרות נותנים נקודות על ההתייחסות המפורשת לפסילה, אז כדאי לרשום את זה גם אם נראה לכם ברור.

תחום הגדרה

לפני שמעלים בריבוע, רושמים את תחום ההגדרה:

• ביטוי תחת שורש חייב להיות אי-שלילי: x + 6 ≥ 0, כלומר x ≥ −6.
• ביטוי שווה לשורש חייב להיות אי-שלילי: x ≥ 0 (כי שורש תמיד אי-שלילי).

בדוגמה שלנו, x ≥ 0. הערך x = −2 נופל מחוץ לתחום, אז כבר בשלב הזה פוסלים אותו.

דוגמה נוספת

פתרו: √(2x + 1) = x − 1.

תחום הגדרה: 2x + 1 ≥ 0 וגם x − 1 ≥ 0. ביחד: x ≥ 1.

העלאה בריבוע:

$$2x + 1 = (x-1)^2 \implies 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$$

קיבלנו x = 0 או x = 4.

x = 0 לא בתחום (0 < 1), אז נפסל. x = 4 בתחום, ובדיקה: √9 = 3, נכון.

הפתרון: x = 4.

עמודים קשורים

• מחשבון משוואה ריבועית
• נוסחת השורשים
• משוואות עם פרמטר