התאמת קודקודים שגויה במשולשים דומים

הסדר שבו רושמים את שני המשולשים הדומים הוא חלק מהמשפט עצמו. שינוי הסדר מוביל ליחסים שגויים בין הצלעות, ותשובות לא נכונות.

הסימון

כשרושמים ΔABC ~ ΔDEF, פירוש הדבר:

• A מתאים ל-D (זוויות A ו-D שוות).
• B מתאים ל-E (זוויות B ו-E שוות).
• C מתאים ל-F (זוויות C ו-F שוות).

מכאן, יחסי הצלעות:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

הצלע בין שני קודקודים במשולש אחד מתאימה לצלע בין הקודקודים המתאימים במשולש השני.

הטעות הקלאסית

נתון: זוויות A ו-E שוות, וזוויות B ו-F שוות. מצאו את היחס בין הצלעות.

טעות: התלמיד רושם ΔABC ~ ΔDEF בלי לבדוק.

מה שגוי. הסדר שגוי. אם A → E ו-B → F, אז הסדר הוא ΔABC ~ ΔEFD.

נכון: רושמים ΔABC ~ ΔEFD. אז:

$$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FD} = \frac{AC}{ED}$$

ההתאמה הנכונה משנה לחלוטין אילו צלעות מתאימות אילו.

טכניקה למניעת השגיאה

1. רשמו את הזוויות השוות: ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.
2. רשמו את ההתאמה במפורש: A → E, B → F, C → D.
3. בנו את שם המשולש השני לפי סדר ההתאמה. התחלה ב-A מתאים ל-E, אז המשולש השני מתחיל ב-E וממשיך בהתאם.

דוגמה

נתון: במשולש ABC ובמשולש PQR, ∠A = ∠Q, ∠B = ∠P. הצלעות: AB = 6, AC = 8, PQ = 9. מצאו את PR.

שלב 1. הזוויות: A ↔ Q, B ↔ P, ולכן C ↔ R.

שלב 2. הסדר הנכון: ΔABC ~ ΔQPR.

שלב 3. יחסי הצלעות:

$$\frac{AB}{QP} = \frac{AC}{QR} = \frac{BC}{PR}$$

שלב 4. מציבים: AB/QP = 6/9 = 2/3. אז AC/QR = 2/3, כלומר 8/QR = 2/3, ו-QR = 12. ל-PR אין מידע ישיר מהנתון.

זהירות: אם התלמיד רושם ΔABC ~ ΔPQR (סדר שגוי), הוא יחשוב ש-AB/PQ = AC/QR = BC/PR, ויקבל יחס 6/PQ = 6/9, אז PQ = 9. נכון. אבל AC/QR = 8/QR עדיין נכון, אז QR = 12. עכשיו הוא רוצה BC/PR, ובמקור אין מספיק נתונים. התשובה תלויה במה השאלה דורשת.

דוגמה ויזואלית

בציור, סמנו את הזוויות השוות בצבעים זהים. למשל, זווית A וזווית D באדום, B ו-E בכחול, C ו-F בירוק. אז הצלעות שמחברות שני צבעים זהים מתאימות. AB (אדום-כחול) מתאים ל-DE (אדום-כחול).

בדמיון נובע מ-ז.ז

לעיתים השאלה נותנת רק זווית אחת שווה. אם הוכחתם זווית שנייה (למשל, באמצעות זוויות מתחלפות), שתי הזוויות שוות, ואז ז.ז מספיק. לפני שרושמים את הסדר, סדרו את שתי הזוויות הזהות שמצאתם.

טעויות נוספות

• הנחת התאמה לפי גודל. הצלע הקצרה במשולש אחד לא בהכרח מתאימה לקצרה במשולש השני, אלא אם יחס הדמיון 1 (חפיפה).
• בלבול בין דמיון לחפיפה. דמיון מתאר יחס, חפיפה מתאר שוויון. ראו חפיפה לעומת דמיון.

עמודים קשורים

• הוכחות דמיון
• איך להוכיח דמיון משולשים
• חפיפה לעומת דמיון