איך להוכיח דמיון משולשים: שלושת משפטי הדמיון

הוכחת דמיון משולשים נדרשת בשאלות גאומטריה עם יחסי צלעות, פתרונות באמצעות יחס, או הוכחות עקיפות. שלושת משפטי הדמיון הם הכלי.

משפטי הדמיון

שלב 1: זהו את המטרה

המטרה היא בדרך כלל אחת מהבאות:

• שני קטעים נמצאים ביחס נתון.
• שני קטעים שווים (אם יחס הדמיון 1, זו גם חפיפה).
• שתי זוויות שוות.
• קו אחד הוא אורך מסוים באמצעות יחס דמיון.

אם המטרה כוללת יחס, סביר שצריך דמיון.

שלב 2: רשמו את הנתונים

קראו את הנתונים בקפידה. סמנו אותם על הסרטוט. נתונים אופייניים שמובילים לדמיון:

• מקבילות: יוצרת זוויות מתחלפות שוות.
• תיכון או חוצה זווית: יוצר זוויות שוות.
• משולשים עם זווית משותפת: הקודקוד המשותף נותן זווית אחת.

שלב 3: בחרו את המשפט

הבחירה הנפוצה ביותר בבגרות היא ז.ז, כי כל מה שצריך זה לזהות שתי זוויות שוות. צ.צ.צ ביחס נדרש לעיתים נדירות, וצ.ז.צ ביחס באמצע.

דרכים נפוצות לזהות זוויות שוות

• זווית משותפת: שני משולשים שחולקים קודקוד.
• זוויות מתחלפות: קווים מקבילים נחתכים על ידי טרנסברסל.
• זוויות קודקודיות: שני קווים שמתחתכים.
• זווית ישרה: שני משולשי ישר זווית.
• זוויות באותו קשת: במעגל, זוויות היקפיות שעומדות על אותו קשת.

שלב 4: רשמו את ההוכחה

תבנית מקובלת:

נתון: [רשימת הנתונים]

צ.ל.ה: ΔABC ~ ΔDEF

הוכחה:

1. ∠A = ∠D (נתון או נימוק)
2. ∠B = ∠E (נתון או נימוק)
3. ΔABC ~ ΔDEF (ז.ז)

הסדר חשוב. רשמו את הזוויות הזהות, ואז את המשפט.

שלב 5: השתמשו בדמיון

אחרי שהוכחתם דמיון, הצלעות המתאימות נמצאות ביחס קבוע:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$$

כאשר k הוא יחס הדמיון. בעזרת היחס הזה אפשר למצוא צלעות לא ידועות.

דוגמה מלאה

נתון: ABC משולש ישר זווית בעל זווית ישרה ב-C. CD גובה לתת היתר. הוכיחו: CD² = AD · DB.

פתרון. האסטרטגיה. למצוא דמיון בין שני משולשים שמכילים את הקטעים האלה.

1. במשולש ACD: זווית D ישרה (CD גובה), זווית A משותפת עם משולש ABC.
2. במשולש CBD: זווית D ישרה, זווית B משותפת עם משולש ABC.
3. במשולש ABC: זווית C ישרה, זוויות A ו-B משלימות ל-90°.
4. במשולש ACD: זווית A + זווית ACD = 90°. אז זווית ACD = 90° − זווית A = זווית B.
5. במשולש ACD ובמשולש CBD: זווית ACD = זווית B, וזווית D ישרה בשניהם. ז.ז.
6. דמיון: ΔACD ~ ΔCBD.
7. יחס צלעות: CD/AD = BD/CD.
8. הכפלה: CD² = AD · BD.

מ.ש.ל.

טעויות נפוצות

• בלבול בין סדר הקודקודים. כשרושמים ΔABC ~ ΔDEF, סדר הקודקודים חשוב. A מתאים ל-D, B ל-E, ו-C ל-F. סדר שגוי נותן יחס לא נכון.
• שימוש בז.ז כמשפט חפיפה. ז.ז מספיק לדמיון, לא לחפיפה.
• השמטת נימוק. כל שורה דורשת מקור.

עמודים קשורים

• הוכחות דמיון
• חפיפה לעומת דמיון
• איך להוכיח חפיפת משולשים
• משפט הזווית ההיקפית