צמצום לא חוקי של שברים: למה לא לבטל איברים מסכום

הטעות הזו פשוטה אבל מטעה מאוד. הביטוי (x + 2)/(x + 5) אינו שווה ל-2/5. אסור לצמצם x כאיבר בסכום.

הטעות הקלאסית

פשטו: (x + 3)/(x + 5).

טעות:

$$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$$

לא נכון. בדיקה: ל-x = 1 המקור הוא 4/6 = 2/3, לא 3/5.

הסיבה. x בסכום, לא גורם. אסור לצמצם אותו.

כלל הברזל

אפשר לצמצם גורם משותף, לא איבר מסכום.

כיצד לצמצם נכון

1. פרקו את המונה לגורמים.
2. פרקו את המכנה לגורמים.
3. חפשו גורם משותף.
4. צמצמו אותו במלואו.

דוגמה. פירוק לפני צמצום

פשטו: (x² + 5x + 6)/(x² + 4x + 4).

שלב 1. פירוק המונה: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

שלב 2. פירוק המכנה: x² + 4x + 4 = (x + 2)².

שלב 3. גורם משותף: (x + 2).

שלב 4. צמצום:

$$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2} = \frac{x+3}{x+2}$$

הצורה הסופית הקטנה ביותר.

תחום ההגדרה

לפני צמצום, רושמים את תחום ההגדרה של הביטוי המקורי. ערכים שמאפסים את המכנה לפני הצמצום אינם בתחום, גם אם אחרי הצמצום הם נראים תקינים.

בדוגמה למעלה, התחום של המקור: (x+2)² ≠ 0, אז x ≠ −2. אחרי הצמצום הצורה הופכת ל-(x+3)/(x+2), ועדיין x ≠ −2. במקרה הזה התחום לא משתנה. אבל בביטוי כמו ((x−1)(x+3))/((x−1)(x−5)), התחום הוא x ≠ 1 וגם x ≠ 5, וזה תקף גם אחרי שמצמצמים x − 1.

טעות שכיחה במנה של נגזרת

בכלל המנה הנגזרת היא:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$$

תלמידים לעיתים מנסים לצמצם את g בתוצאה. אסור, g הוא איבר בהפרש במונה, לא גורם של כל המונה.

עמודים קשורים

• פירוק לגורמים
• כפל מקוצר
• אי-שוויון רציונלי
• חקירת פונקציה רציונלית