איך להשתמש במשפט ויאטה: סכום ומכפלת שורשים

משפט ויאטה הוא קיצור דרך לעבודה עם שורשי משוואה ריבועית, בלי לחשב אותם במפורש.

הנוסחאות

למשוואה ax² + bx + c = 0 עם שורשים x₁ ו-x₂:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

זה תקף בלי תלות בערך הדלתא, כל עוד יש שורשים (כולל מרוכבים).

הרעיון

המשוואה ax² + bx + c = 0 שווה לפירוק a(x − x₁)(x − x₂) = 0. פתיחת הסוגריים:

$$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) = 0$$

השוואת מקדמים: −a(x₁ + x₂) = b, ו-a · x₁x₂ = c. מכאן הנוסחאות.

מתי להשתמש

ויאטה הוא הכלי הנכון כשהשאלה מבקשת:

• סכום השורשים.
• מכפלת השורשים.
• ביטוי סימטרי כמו x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂, (x₁ − x₂)².
• תנאי על פרמטר במשוואה, כשהפרמטר משפיע על סכום או מכפלת השורשים.

דוגמה 1: ביטוי סימטרי

נתונה x² − 7x + 10 = 0. מצאו את x₁² + x₂² מבלי לפתור את המשוואה.

פתרון. מויאטה: x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 10.

הזהות: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.

$$x_1^2 + x_2^2 = 49 - 20 = 29$$

דוגמה 2: בעיה עם פרמטר

מצאו את ערכי m שעבורם השורשים של x² − 4x + m = 0 שווים.

פתרון. שורשים שווים פירושו x₁ = x₂, או שווה ערך, דלתא אפס.

$$\Delta = 16 - 4m = 0 \implies m = 4$$

אלטרנטיבה דרך ויאטה: אם x₁ = x₂ = t, אז 2t = 4 ו-t² = m. מהראשונה, t = 2. הצבה: m = 4.

דוגמה 3: בניית משוואה משורשים

בנו משוואה ריבועית ששורשיה הם 3 ו-−5.

פתרון. סכום: 3 + (−5) = −2. מכפלה: 3 · (−5) = −15.

נוסחת מבנה: x² − (סכום)x + (מכפלה) = 0.

$$x^2 - (-2)x + (-15) = 0 \implies x^2 + 2x - 15 = 0$$

בדיקה: (x − 3)(x + 5) = x² + 2x − 15. נכון.

טעות נפוצה

תלמידים שוכחים את הסימן: סכום השורשים הוא −b/a, לא b/a. שימו לב למינוס.

בנוסחה מורחבת לפולינומים

אותו עקרון עובד למשוואות ממעלה גבוהה. למשל לקובי ax³ + bx² + cx + d = 0 עם שורשים x₁, x₂, x₃:

• x₁ + x₂ + x₃ = −b/a
• x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
• x₁ · x₂ · x₃ = −d/a

בבגרות התיכון בדרך כלל מסתפקים במקרה הריבועי.

עמודים קשורים

• משפט ויאטה
• נוסחת השורשים
• משוואה ריבועית עם פרמטר