איך למצוא תחום הגדרה של פונקציה: כל המקרים

תחום ההגדרה של פונקציה הוא קבוצת ערכי x שעבורם הפונקציה מוגדרת. תלוי בסוג הפונקציה, מבדילים בין כמה כללים בסיסיים.

כללים בסיסיים

אלגוריתם

1. זיהו את כל הביטויים שדורשים תנאי. מכנה, שורש, לוגריתם.
2. רשמו תנאי לכל אחד. עם "וגם" אם יש כמה.
3. פתרו כל אי-שוויון/משוואה.
4. חתכו את כל הפתרונות. התחום הסופי הוא חיתוך כולם.

דוגמה 1. פולינום

f(x) = x³ − 5x² + 7. תחום: כל הממשיים ℝ.

דוגמה 2. פונקציה רציונלית

f(x) = (x + 1)/(x² − 9).

תנאי. x² − 9 ≠ 0, או x ≠ ±3.

תחום: ℝ \ {−3, 3}, או (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, ∞).

דוגמה 3. פונקצית שורש

f(x) = √(2x − 6).

תנאי: 2x − 6 ≥ 0, או x ≥ 3.

תחום: [3, ∞).

דוגמה 4. לוגריתם

f(x) = ln(x² − 4).

תנאי: x² − 4 > 0. פתרון אי-שוויון: x < −2 או x > 2.

תחום: (−∞, −2) ∪ (2, ∞).

דוגמה 5. שילוב של שורש ולוגריתם

f(x) = √(x − 1) + ln(5 − x).

תנאים:

• שורש: x − 1 ≥ 0, כלומר x ≥ 1.
• לוגריתם: 5 − x > 0, כלומר x < 5.

חיתוך: 1 ≤ x < 5, או [1, 5).

דוגמה 6. שורש במכנה

f(x) = 1/√(x − 2).

תנאי כפול:

• שורש: x − 2 ≥ 0, או x ≥ 2.
• מכנה: √(x − 2) ≠ 0, או x ≠ 2.

חיתוך: x > 2, או (2, ∞).

דוגמה 7. פונקציה רציונלית עם שורש

f(x) = √x / (x² − 1).

תנאים:

• שורש: x ≥ 0.
• מכנה: x² ≠ 1, או x ≠ ±1.

חיתוך עם x ≥ 0: x ≥ 0 ו-x ≠ 1. אז [0, 1) ∪ (1, ∞).

דוגמה 8. פונקציה טריגונומטרית

f(x) = 1/sin(x).

תנאי: sin(x) ≠ 0, או x ≠ πk.

תחום: כל הממשיים פרט לכל המכפלות השלמות של π.

איחוד תנאים

לעיתים יש כמה תנאים שיוצרים תחום מסובך. שיטה כללית:

1. צייר ציר מספרים.
2. סמן את התנאי של כל ביטוי בנפרד.
3. חתוך - הקטעים שמופיעים בכל התנאים.

בעיה בגרות אופיינית

מצאו תחום הגדרה של f(x) = ln((x + 2)/(x − 3)).

תנאי. (x + 2)/(x − 3) > 0.

זהו אי-שוויון רציונלי. שלוש אזורים לבדיקה: x < −2, −2 < x < 3, x > 3.

• x = −3: (−1)/(−6) > 0. חיובי.
• x = 0: 2/(−3) < 0. שלילי.
• x = 4: 6/1 > 0. חיובי.

תחום: (−∞, −2) ∪ (3, ∞).

טעויות נפוצות

• שכחת תנאי אחד מבין כמה (כשיש שורש ולוגריתם ביחד).
• בלבול בין ≥ ל-> (שורש מאפשר שוויון, לוגריתם לא).
• שכחת לחתוך את כל התנאים בסוף.

עמודים קשורים

• תחום לעומת טווח
• שכחת תחום ההגדרה בלוגריתם
• אי-שוויון רציונלי