נוסחת מכפלה סקלרית של וקטורים

מכפלה סקלרית של שני וקטורים נותנת מספר (לא וקטור). היא הכלי הראשי לחישוב זוויות בין וקטורים ולבדיקת מאונכות.

שתי ההגדרות

לפי רכיבים (במרחב)

עבור וקטורים u = (u_x, u_y, u_z) ו-v = (v_x, v_y, v_z):

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$$

במישור: ללא רכיב z.

לפי גודל וזווית

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta$$

כאשר θ הזווית בין הוקטורים.

שקילות שתי ההגדרות

שתי ההגדרות שקולות. נשתמש בשתיהן בו-זמנית כדי לחשב את הזווית:

$$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

תכונות

מאונכות

שני וקטורים מאונכים אם ורק אם מכפלתם הסקלרית אפס:

$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

(תקף לוקטורים שונים מאפס.)

דוגמה 1: חישוב

נתון u = (2, 3, 1) ו-v = (1, −1, 4). חשבו את u · v.

פתרון.

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 2 - 3 + 4 = 3$$

דוגמה 2: בדיקת מאונכות

האם הוקטורים u = (1, 2, 3) ו-v = (4, 1, −2) מאונכים?

פתרון.

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 + 2 - 6 = 0$$

כן, הם מאונכים.

דוגמה 3: זווית בין וקטורים

נתון u = (3, 4, 0) ו-v = (4, 0, 3). מצאו את הזווית ביניהם.

פתרון.

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 12 + 0 + 0 = 12$$ $$|\vec{u}| = \sqrt{25} = 5, \quad |\vec{v}| = \sqrt{25} = 5$$ $$\cos \theta = \frac{12}{25} = 0.48 \implies \theta \approx 61.31°$$

טעויות נפוצות

1. חישוב כמכפלה רגילה של רכיבים. שגוי! הנוסחה היא סכום של מכפלות-רכיב, לא מכפלה של סכומים.
2. טעות בסימן זווית. cosθ שלילי אם הזווית קהה. ערך מוחלט בכמכפלה לא נדרש.
3. שכחה שזה סקלר, לא וקטור. אם התוצאה היא וקטור, שגיתם, כנראה חישבתם מכפלה וקטורית.

עמודים קשורים

• מכפלה סקלרית
• וקטור במישור
• וקטור במרחב
• וקטורים