וקטור במישור לבגרות: רכיבים, חיבור, וגודל

וקטור במישור הוא היחידה הבסיסית של הסטודיו האלגברי של גאומטריה. הוא משלב מיקום, כיוון, וגודל, וכל פעולה גאומטרית מתורגמת לפעולה אלגברית פשוטה.

הגדרה

וקטור במישור הוא קטע מכוון. שני וקטורים שווים אם הם בעלי אותו כיוון ואותו גודל. הם לא חייבים להיות באותו מיקום.

וקטור v ניתן לרשום בכמה דרכים:

• ברכיבים: v = (v_x, v_y)
• כצירוף של וקטורי יחידה: v = v_x · i + v_y · j
• כווקטור מנקודה A לנקודה B: AB = B − A

פעולות בסיסיות

חיבור וחיסור

$$\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)$$ $$\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)$$

גאומטרית: חיבור הוא חיבור "ראש לזנב". חיסור הוא חיבור עם הוקטור ההפוך.

כפל בסקלר

$$k \cdot \vec{v} = (k v_x, k v_y)$$

אם k חיובי: הוקטור נמתח (k > 1) או מתכווץ (0 < k < 1) בלי שינוי כיוון. אם k שלילי: הכיוון מתהפך.

גודל וקטור

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

זה בעצם מרחק מהראשית כשהוקטור מתחיל בה.

וקטור בין שתי נקודות

אם A = (x₁, y₁) ו-B = (x₂, y₂):

$$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$

הוקטור הוא B מינוס A, לא להפך.

וקטורי יחידה

וקטור באורך 1. כדי להפוך וקטור כלשהו לוקטור יחידה באותו כיוון:

$$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$

וקטורים תלויים ובלתי תלויים

שני וקטורים תלויים אם אחד מהם הוא כפולה של השני (הם מקבילים). אחרת בלתי תלויים.

תנאי בלתי-תלות: דטרמיננטה של מטריצת רכיבים שונה מאפס:

$$u_x \cdot v_y - u_y \cdot v_x \neq 0$$

דוגמה: גודל ווקטור יחידה

נתון v = (3, 4). מצאו את גודל הוקטור ואת וקטור היחידה שלו.

פתרון.

$$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$\hat{v} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$$

טעויות נפוצות

1. חישוב וקטור בכיוון הפוך. AB = B − A (נקודת הסיום פחות נקודת המוצא).
2. שכחת השורש בנוסחת הגודל. הגודל הוא שורש של סכום ריבועי רכיבים.
3. בלבול בין וקטור לנקודה. נקודה היא מיקום אבסולוטי. וקטור הוא הזזה יחסית.

עמודים קשורים

• וקטורים
• וקטור במרחב
• מכפלה סקלרית