וקטור במרחב לבגרות: רכיבים, ישרים, ומישורים

וקטור במרחב מכליל את הוקטור במישור לשלוש דימנציות. כל החישובים שעובדים במישור (חיבור, כפל בסקלר, גודל) נשמרים, רק עם רכיב נוסף ל-z. בנוסף מצטרפים כלים חדשים: מישור, מכפלה וקטורית, ומרחקים תלת-ממדיים.

ייצוג

וקטור במרחב נכתב באחת מהצורות:

• v = (v_x, v_y, v_z)
• v = v_x · i + v_y · j + v_z · k

כאשר i, j, k הם וקטורי היחידה בכיווני הצירים.

נוסחאות בסיסיות

גודל וקטור:

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

וקטור בין שתי נקודות במרחב:

$$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$$

מרחק בין שתי נקודות:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

משוואת ישר במרחב

ישר במרחב נקבע על-ידי נקודה ווקטור כיוון (או על-ידי שתי נקודות).

צורה פרמטרית

עם נקודה (x₀, y₀, z₀) ווקטור כיוון v = (a, b, c):

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

צורה קנונית

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$

משוואת מישור

מישור נקבע על-ידי נקודה ווקטור נורמלי (וקטור מאונך למישור).

צורה כללית

$$A x + B y + C z + D = 0$$

הוקטור הנורמלי הוא n = (A, B, C).

צורת נקודה ונורמל

עם נקודה (x₀, y₀, z₀) ונורמל n = (A, B, C):

$$A (x - x_0) + B (y - y_0) + C (z - z_0) = 0$$

מרחקים

מרחק נקודה ממישור

מרחק נקודה (x₀, y₀, z₀) ממישור Ax + By + Cz + D = 0:

$$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

מרחק בין שני מישורים מקבילים

מציבים נקודה כלשהי ממישור אחד בנוסחת המרחק.

מרחק בין שני ישרים מצטלבים מקבילים

מציבים נקודה מהישר אחד ומחשבים מרחק לישר השני.

דוגמה: משוואת מישור משלוש נקודות

נתונות נקודות A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1). מצאו את משוואת המישור העובר דרכן.

פתרון.

AB = (−1, 1, 0)
AC = (−1, 0, 1)

הנורמל הוא וקטור מאונך לשניהם (מכפלה וקטורית):

$$n = AB \times AC = (1, 1, 1)$$

משוואת המישור דרך A: 1(x − 1) + 1(y − 0) + 1(z − 0) = 0, כלומר x + y + z = 1.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין משוואה פרמטרית למשוואה קנונית. הפרמטרית משתמשת ב-t. הקנונית מבטלת אותו.
2. שכחה שהוקטור הנורמלי לא חייב להיות וקטור יחידה. בנוסחת המרחק יש כבר חלוקה בגודל.
3. חישוב משוואת מישור כשהנקודות קוו-לינאריות. אם שלוש הנקודות על אותו ישר, אין מישור יחיד.

עמודים קשורים

• וקטורים
• וקטור במישור
• מכפלה סקלרית