התפלגות בדידה לעומת רציפה: שני מודלים בהסתברות

הסתברות חוקרת שני סוגים של משתנים מקריים: בדידים ורציפים. ההבדל ביניהם מהותי באופן החישוב והפרשנות.

הגדרות

משתנה מקרי בדיד: ערכים מנותקים, בדרך כלל ספירים (1, 2, 3, ...) או סופיים. למשל מספר עץ בהטלת מטבע, מספר תאונות ביום.

משתנה מקרי רציף: ערכים על קטע. למשל גובה אדם, זמן המתנה, משקל.

הסתברות נקודתית

בבדיד. לכל ערך יש הסתברות. סכום ההסתברויות = 1.

ברציף. לכל ערך יחיד ההסתברות 0. רק קטעים נושאים הסתברות חיובית.

זוהי תוצאה לא אינטואיטיבית: ברציף, השאלה "מה ההסתברות לגובה בדיוק 1.75?" מקבלת תשובה 0. השאלה הנכונה: "מה ההסתברות לגובה בין 1.74 ל-1.76?"

טבלת השוואה

דוגמה. התפלגות בדידה

נתון. הטלת קוביה הוגנת. המשתנה X הוא הערך שיצא.

הסתברויות. P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = 1/6.

תוחלת:

$$E(X) = \sum_{x=1}^{6} x \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$

הערך הצפוי הוא 3.5, גם אם אי אפשר לקבל אותו בהטלה.

דוגמה. התפלגות רציפה (נורמלית)

נתון. גובה אנשים מתפלג נורמלית עם תוחלת μ = 170 סנטימטר וסטיית תקן σ = 10. מה ההסתברות שאדם יהיה בגובה בין 160 ל-180?

שלב 1. הופכים לקטע סטנדרטי בעזרת Z = (X − μ)/σ.

• X = 160 → Z = (160 − 170)/10 = −1.
• X = 180 → Z = (180 − 170)/10 = 1.

שלב 2. מבקשים P(−1 ≤ Z ≤ 1). מטבלת התפלגות נורמלית סטנדרטית: כ-0.6827, או כ-68.27%.

חוקי תוחלת ושונות

חוקים זהים לבדיד ולרציף:

• לינאריות תוחלת: E(aX + b) = a·E(X) + b.
• תוחלת סכום: E(X + Y) = E(X) + E(Y).
• שונות תחת קבוע: Var(aX + b) = a²·Var(X).

פונקציית צפיפות

ברציף, התפקיד של "ההסתברות בנקודה" עובר לצפיפות הסתברות f(x). תכונות:

• f(x) ≥ 0 בכל מקום.
• ∫ f(x) dx = 1 על כל הטווח.
• P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.

איפה זה מופיע בבגרות

בגרות 4 יחידות. בעיקר התפלגויות בדידות (מטבע, קוביה, שליפה מקבוצה).

בגרות 5 יחידות. גם התפלגות נורמלית רציפה, חישוב בעזרת Z סטנדרטי, וטבלאות נורמלית.

טעות שכיחה

בלבול בין צפיפות להסתברות. ברציף, f(x) לא יכולה להיות הסתברות (היא יכולה להיות גדולה מ-1!). ההסתברות היא רק האינטגרל של f על קטע.

עמודים קשורים

• התפלגות נורמלית
• נוסחת בייס
• הגרלה עם החזרה לעומת ללא החזרה